Geometria este frumoasă pentru că, spre deosebire de algebra, unde nu este întotdeauna clar ce gândești și de ce, dă vizibilitate obiectului. Această lume minunată a diferitelor corpuri este decorată cu poliedre obișnuite.
Informații generale despre poliedre obișnuite
Conform multora, poliedrele obișnuite, sau așa cum sunt numite și solide platonice, au proprietăți unice. Cu aceste obiecte sunt asociate mai multe ipoteze științifice. Când începi să studiezi aceste corpuri geometrice, înțelegi că nu știi practic nimic despre un astfel de concept precum poliedre obișnuite. Prezentarea acestor obiecte la școală nu este întotdeauna interesantă, așa că mulți nici măcar nu-și amintesc cum se numesc. Majoritatea oamenilor își amintesc doar cubul. Niciunul dintre corpurile din geometrie nu este la fel de perfect ca poliedrele obișnuite. Toate numele acestor corpuri geometrice provin din Grecia Antică. Ele înseamnă numărul de fețe: tetraedru - cu patru fețe, hexaedru - cu șase laturi, octaedru - octaedru, dodecaedru - cu douăsprezece fețe, icosaedru - douăzeci de fețe. Toate aceste corpuri geometricea ocupat un loc important în conceptul lui Platon despre univers. Patru dintre ele au personificat elementele sau entitățile: tetraedrul - focul, icosaedrul - apă, cubul - pământul, octaedrul - aerul. Dodecaedrul a întruchipat tot ceea ce există. Era considerat principalul, deoarece era un simbol al universului.
Generalizarea conceptului de poliedru
Un poliedru este o colecție de un număr finit de poligoane astfel încât:
- fiecare dintre laturile oricăruia dintre poligoane este în același timp latura unui singur alt poligon de pe aceeași parte;
- din fiecare dintre poligoane, puteți ajunge la celel alte trecând de-a lungul poligoanelor adiacente acestuia.
Poligoanele care alcătuiesc un poliedru sunt fețele sale, iar laturile lor sunt muchii. Vârfurile poliedrelor sunt vârfurile poligoanelor. Dacă conceptul de poligon este înțeles ca linii întrerupte și închise plate, atunci se ajunge la o definiție a poliedrului. În cazul în care acest concept înseamnă o parte a planului care este limitată de linii întrerupte, atunci trebuie înțeleasă o suprafață formată din piese poligonale. Un poliedru convex este un corp situat pe o parte a unui plan adiacent feței sale.
O altă definiție a poliedrului și a elementelor sale
Un poliedru este o suprafață formată din poligoane care limitează un corp geometric. Acestea sunt:
- neconvex;
- convex (corecte și incorecte).
Un poliedru obișnuit este un poliedru convex cu simetrie maximă. Elemente ale poliedrelor obișnuite:
- tetraedru: 6 muchii, 4 fețe, 5 vârfuri;
- hexaedru (cub): 12, 6, 8;
- dodecaedru: 30, 12, 20;
- octaedru: 12, 8, 6;
- icozaedru: 30, 20, 12.
Teorema lui Euler
Se stabilește o relație între numărul de muchii, vârfuri și fețe care sunt echivalente topologic cu o sferă. Adunând numărul de vârfuri și fețe (B + D) ale diferitelor poliedre regulate și comparându-le cu numărul de muchii, se poate stabili un model: suma numărului de fețe și vârfuri este egală cu numărul de muchii (P) crescut cu 2. Puteți obține o formulă simplă:
B + D=R + 2
Această formulă este valabilă pentru toate poliedrele convexe.
Definiții de bază
Conceptul de poliedru regulat nu poate fi descris într-o singură propoziție. Este mai semnificativ și mai voluminos. Pentru ca un organism să fie recunoscut ca atare, acesta trebuie să îndeplinească o serie de definiții. Deci, un corp geometric va fi un poliedru regulat dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
- este convex;
- același număr de muchii converg la fiecare dintre vârfurile sale;
- toate fețele sale sunt poligoane regulate, egale între ele;
- toate unghiurile sale diedrice sunt egale.
Proprietățile poliedrelor obișnuite
Există 5 tipuri diferite de poliedre obișnuite:
- Cub (hexaedru) - are un unghi plat în partea de sus este de 90°. Are un unghi cu 3 laturi. Suma unghiurilor plate din partea de sus este de 270°.
- Tetraedru - unghi plat în partea de sus - 60°. Are un unghi cu 3 laturi. Suma unghiurilor plate din partea de sus este de 180°.
- Octaedru - unghi de vârf plat - 60°. Are un colt pe 4 laturi. Suma unghiurilor plate din partea de sus este de 240°.
- Dodecaedru - unghi plat la vârful 108°. Are un unghi cu 3 laturi. Suma unghiurilor plate din partea de sus este de 324°.
- Icosaedru - are un unghi plat în partea de sus - 60°. Are un unghi cu 5 laturi. Suma unghiurilor plate din partea de sus este de 300°.
Zona de poliedre obișnuite
Aria suprafeței acestor corpuri geometrice (S) se calculează ca aria unui poligon regulat înmulțită cu numărul fețelor sale (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Volumul unui poliedru obișnuit
Această valoare se calculează înmulțind volumul unei piramide obișnuite, la baza căreia se află un poligon regulat, cu numărul de fețe, iar înălțimea acesteia este raza sferei înscrise (r):
V=1: 3rS
Volume de poliedre obișnuite
Ca orice alt corp geometric, poliedrele obișnuite au volume diferite. Mai jos sunt formulele prin care le puteți calcula:
- tetraedru: α x 3√2: 12;
- octaedru: α x 3√2: 3;
- icosaedru; α x 3;
- hexaedru (cub): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecaedru: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elemente ale poliedrelor obișnuite
Hexaedrul și octaedrul sunt corpuri geometrice duale. Cu alte cuvinte, ele pot fi obținute unul de la celăl alt dacă centrul de greutate al feței unuia este luat ca vârf al celuil alt și invers. Icosaedrul și dodecaedrul sunt, de asemenea, duali. Doar tetraedrul este dual cu el însuși. Conform metodei Euclid, puteți obține un dodecaedru dintr-un hexaedru construind „acoperișuri” pe fețele unui cub. Vârfurile unui tetraedru vor fi oricare 4 vârfuri ale unui cub care nu sunt adiacente în perechi de-a lungul unei muchii. Din hexaedru (cub) puteți obține alte poliedre obișnuite. În ciuda faptului că există nenumărate poligoane regulate, există doar 5 poliedre regulate.
Raza poligoanelor obișnuite
Există 3 sfere concentrice asociate cu fiecare dintre aceste corpuri geometrice:
- descris, trecând prin vârfurile sale;
- inscris, atingând fiecare dintre fețele sale în centru;
- median, atingând toate marginile din mijloc.
Raza sferei descrise este calculată prin următoarea formulă:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Raza unei sfere înscrise este calculată prin formula:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
unde θ este unghiul diedric dintre fețele adiacente.
Raza sferei mediane poate fi calculată folosind următoarea formulă:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
unde valoarea h=4, 6, 6, 10 sau 10. Raportul razelor circumscrise și înscrise este simetric față de p și q. Aceastacalculat prin formula:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simetria poliedrelor
Simetria poliedrelor regulate provoacă interesul principal pentru aceste corpuri geometrice. Se înțelege ca atare o mișcare a corpului în spațiu, care lasă același număr de vârfuri, fețe și margini. Cu alte cuvinte, sub efectul unei transformări de simetrie, o muchie, un vârf, o față fie își păstrează poziția inițială, fie se mută în poziția inițială a unei alte muchii, vârf sau față.
Elementele de simetrie ale poliedrelor regulate sunt caracteristice tuturor tipurilor de astfel de corpuri geometrice. Aici vorbim despre o transformare identică care lasă oricare dintre puncte în poziția inițială. Deci, atunci când rotiți o prismă poligonală, puteți obține mai multe simetrii. Oricare dintre ele poate fi reprezentat ca un produs al reflexiilor. O simetrie care este produsul unui număr par de reflexii se numește linie dreaptă. Dacă este produsul unui număr impar de reflexii, atunci se numește invers. Astfel, toate rotațiile în jurul unei linii sunt simetrie directă. Orice reflexie a unui poliedru este o simetrie inversă.
Pentru a înțelege mai bine elementele de simetrie ale poliedrelor obișnuite, putem lua exemplul unui tetraedru. Orice linie dreaptă care va trece prin unul dintre vârfuri și centrul acestei figuri geometrice va trece și prin centrul feței opuse acesteia. Fiecare dintre cele 120° și 240° în jurul liniei este plural.simetria tetraedrului. Deoarece are 4 vârfuri și 4 fețe, există doar opt simetrii directe. Oricare dintre liniile care trec prin mijlocul marginii și centrul acestui corp trece prin mijlocul marginii opuse. Orice rotație de 180°, numită jumătate de rotație, în jurul unei linii drepte este o simetrie. Deoarece tetraedrul are trei perechi de muchii, există încă trei simetrii directe. Pe baza celor de mai sus, putem concluziona că numărul total de simetrii directe, inclusiv transformarea identică, va ajunge la douăsprezece. Tetraedrul nu are alte simetrii directe, dar are 12 simetrii inverse. Prin urmare, tetraedrul este caracterizat printr-un total de 24 de simetrii. Pentru claritate, puteți construi un model al unui tetraedru obișnuit din carton și să vă asigurați că acest corp geometric are într-adevăr doar 24 de simetrii.
Dodecaedrul și icosaedrul sunt cele mai apropiate de sfera corpului. Icosaedrul are cel mai mare număr de fețe, cel mai mare unghi diedru și poate fi apăsat cel mai strâns pe o sferă înscrisă. Dodecaedrul are cel mai mic defect unghiular, cel mai mare unghi solid la vârf. Își poate umple sfera descrisă la maximum.
Mături de poliedre
Poliedrele obișnuite neîmpachetate, pe care le-am lipit cu toții în copilărie, au multe concepte. Dacă există o colecție de poligoane, fiecare latură a cărora este identificată cu o singură latură a poliedrului, atunci identificarea laturilor trebuie să îndeplinească două condiții:
- din fiecare poligon, puteți trece peste poligoane care aupartea identificată;
- laturile identificate trebuie să aibă aceeași lungime.
Este mulțimea de poligoane care îndeplinesc aceste condiții care se numește dezvoltarea poliedrului. Fiecare dintre aceste corpuri are mai multe dintre ele. Deci, de exemplu, un cub are 11 dintre ele.
