Un cilindru este una dintre figurile tridimensionale simple care se studiază la cursul de geometrie a școlii (secțiunea geometrie solidă). În acest caz, apar adesea probleme la calcularea volumului și a masei unui cilindru, precum și la determinarea suprafeței acestuia. Răspunsurile la întrebările marcate sunt oferite în acest articol.
Ce este un cilindru?
Înainte de a trece la răspunsul la întrebarea care este masa cilindrului și volumul acestuia, merită să luați în considerare care este această cifră spațială. Trebuie remarcat imediat că un cilindru este un obiect tridimensional. Adică, în spațiu, puteți măsura trei dintre parametrii săi de-a lungul fiecărei axe dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene. De fapt, pentru a determina fără ambiguitate dimensiunile unui cilindru, este suficient să cunoști doar doi dintre parametrii acestuia.
Cilindrul este o figură tridimensională formată din două cercuri și o suprafață cilindrică. Pentru a reprezenta mai clar acest obiect, este suficient să luați un dreptunghi și să începeți să îl rotiți în jurul oricăreia dintre laturile sale, care va fi axa de rotație. În acest caz, dreptunghiul care se rotește va descrie formarotație - cilindru.
Două suprafețe rotunde se numesc bazele cilindrului, ele sunt caracterizate de o anumită rază. Distanța dintre baze se numește înălțime. Cele două baze sunt interconectate printr-o suprafață cilindrică. Linia care trece prin centrele ambelor cercuri se numește axa cilindrului.
Volum și suprafață
După cum puteți vedea din cele de mai sus, cilindrul este definit de doi parametri: înălțimea h și raza bazei sale r. Cunoscând acești parametri, este posibil să se calculeze toate celel alte caracteristici ale corpului considerat. Mai jos sunt cele principale:
- Zona bazelor. Această valoare este calculată prin formula: S1=2pir2, unde pi este pi egal cu 3, 14. Cifra 2 în formulă apare deoarece cilindrul are două baze identice.
- Suprafață cilindrică. Poate fi calculat astfel: S2=2pirh. Este ușor de înțeles această formulă: dacă o suprafață cilindrică este tăiată vertical de la o bază la alta și extinsă, atunci se va obține un dreptunghi, a cărui înălțime va fi egală cu înălțimea cilindrului, iar lățimea va corespunde cu circumferința bazei figurii tridimensionale. Deoarece aria dreptunghiului rezultat este produsul laturilor sale, care sunt egale cu h și 2pir, se obține formula de mai sus.
- Suprafața cilindrului. Este egal cu suma ariilor lui S1 și S2, obținem: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Volum. Această valoare este ușor de găsit, trebuie doar să înmulțiți aria unei baze cu înălțimea figurii: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Determinarea masei unui cilindru
În sfârșit, merită să mergi direct la subiectul articolului. Cum se determină masa unui cilindru? Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți volumul său, formula de calcul care a fost prezentată mai sus. Și densitatea substanței din care constă. Masa este determinată printr-o formulă simplă: m=ρV, unde ρ este densitatea materialului care formează obiectul în cauză.
Conceptul de densitate caracterizează masa unei substanțe care se află într-o unitate de volum a spațiului. De exemplu. Se știe că fierul are o densitate mai mare decât lemnul. Aceasta înseamnă că, în cazul unor volume egale de materie de fier și lemn, prima va avea o masă mult mai mare decât cea din urmă (de aproximativ 16 ori).
Calculul masei unui cilindru de cupru
Luați în considerare o problemă simplă. Este necesar să găsiți masa unui cilindru din cupru. Pentru certitudine, lăsați cilindrul să aibă un diametru de 20 cm și o înălțime de 10 cm.
Înainte de a începe să rezolvați problema, ar trebui să vă ocupați de datele sursă. Raza cilindrului este egală cu jumătate din diametrul acestuia, ceea ce înseamnă r=20/2=10 cm, în timp ce înălțimea este h=10 cm. Deoarece cilindrul considerat în problemă este din cupru, atunci, referindu-ne la date de referință, notăm valoarea densității acestui material: ρ=8, 96 g/cm3 (pentru temperatură 20 °C).
Acum puteți începe să rezolvați problema. Mai întâi, să calculăm volumul: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Apoi masa cilindrului va fi: m=ρV=8,963140=28134 grame sau aproximativ 28 kilograme.
Ar trebui să acordați atenție dimensiunii unităților în timpul utilizării lor în formulele corespunzătoare. Deci, în problemă, toți parametrii au fost prezentați în centimetri și grame.
Cilindro omogene și gol
Din rezultatul obtinut mai sus se poate observa ca un cilindru de cupru cu dimensiuni relativ mici (10 cm) are o masa mare (28 kg). Acest lucru se datorează nu numai faptului că este fabricat din material greu, ci și faptului că este omogen. Acest fapt este important de înțeles, deoarece formula de mai sus pentru calcularea masei poate fi utilizată numai dacă cilindrul este complet (în exterior și în interior) realizat din același material, adică este omogen.
În practică, cilindrii goali sunt adesea folosiți (de exemplu, butoaie cilindrice pentru apă). Adică sunt făcute din foi subțiri din ceva material, dar în interior sunt goale. Pentru un cilindru tubular, formula indicată pentru calcularea masei nu poate fi utilizată.
Calculul masei unui cilindru gol
Este interesant de calculat ce masă va avea un cilindru de cupru dacă este gol în interior. De exemplu, lăsați-l să fie făcut dintr-o foaie subțire de cupru cu o grosime de numai d=2 mm.
Pentru a rezolva această problemă, trebuie să găsiți volumul cuprului în sine, din care este făcut obiectul. Nu volumul cilindrului. Deoarece grosimeafoaia este mică în comparație cu dimensiunile cilindrului (d=2 mm și r=10 cm), apoi volumul de cupru din care este realizat obiectul poate fi găsit prin înmulțirea întregii suprafețe a cilindrului cu grosimea foii de cupru, obținem: V=dS 3=d2pir(r+h). Înlocuind datele din problema anterioară, obținem: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Masa unui cilindru gol poate fi obținută prin înmulțirea volumului obținut de cupru, care a fost necesar pentru fabricarea acestuia, cu densitatea cuprului: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g sau 2,3 kg. Adică, cilindrul tubular considerat cântărește de 12 (28, 1/2, 3) ori mai puțin decât unul omogen.
