În practică, apar adesea sarcini care necesită capacitatea de a construi secțiuni de forme geometrice de diferite forme și de a găsi zona secțiunilor. În acest articol, vom analiza cât de importante sunt construite secțiunile unei prisme, piramide, con și cilindru și cum să le calculăm ariile.
figuri 3D
Din stereometrie se știe că o figură tridimensională de absolut orice tip este limitată de un număr de suprafețe. De exemplu, pentru astfel de poliedre precum o prismă și o piramidă, aceste suprafețe sunt laturile poligonale. Pentru un cilindru și un con, vorbim despre suprafețele de revoluție ale figurilor cilindrice și conice.
Dacă luăm un plan și intersectăm în mod arbitrar suprafața unei figuri tridimensionale, vom obține o secțiune. Aria sa este egală cu aria părții planului care se va afla în interiorul volumului figurii. Valoarea minimă a acestei zone este zero, care se realizează atunci când avionul atinge figura. De exemplu, o secțiune care este formată dintr-un singur punct se obține dacă planul trece prin vârful unei piramide sau al unui con. Valoarea maximă a ariei secțiunii transversale depinde depoziția relativă a figurii și a planului, precum și forma și dimensiunea figurii.
Mai jos, vom analiza cum se calculează aria secțiunilor formate pentru două figuri de revoluție (cilindru și con) și două poliedre (piramidă și prismă).
Cilindre
Cilindru circular este o figură de rotație a unui dreptunghi în jurul oricăreia dintre laturile sale. Cilindrul este caracterizat de doi parametri liniari: raza bazei r și înălțimea h. Diagrama de mai jos arată cum arată un cilindru drept circular.
Există trei tipuri de secțiuni importante pentru această cifră:
- round;
- dreptunghiular;
- eliptice.
Eliptica se formează ca urmare a intersectării planului cu suprafața laterală a figurii la un anumit unghi față de baza acesteia. Rotunda este rezultatul intersecției planului de tăiere al suprafeței laterale paralel cu baza cilindrului. În final, se obține unul dreptunghiular dacă planul de tăiere este paralel cu axa cilindrului.
Aria circulară se calculează cu formula:
S1=pir2
Aria secțiunii axiale, adică dreptunghiulară, care trece prin axa cilindrului, este definită după cum urmează:
S2=2rh
Secțiuni conice
Un con este o figură de rotație a unui triunghi dreptunghic în jurul unuia dintre picioare. Conul are un vârf și o bază rotundă. Parametrii săi sunt, de asemenea, raza r și înălțimea h. Un exemplu de con de hârtie este prezentat mai jos.
Există mai multe tipuri de secțiuni conice. Să le enumerăm:
- round;
- eliptice;
- parabolic;
- hiperbolic;
- triunghiular.
Se înlocuiesc reciproc dacă măriți unghiul de înclinare al planului secant față de baza rotundă. Cel mai simplu mod este să scrieți formulele pentru aria secțiunii transversale a circulară și triunghiulară.
O secțiune circulară se formează ca urmare a intersecției unei suprafețe conice cu un plan care este paralel cu baza. Pentru zona sa este valabilă următoarea formulă:
S1=pir2z2/h 2
Aici z este distanța de la partea de sus a figurii la secțiunea formată. Se poate observa că dacă z=0, atunci planul trece doar prin vârf, deci aria S1 va fi egală cu zero. De la z < h, aria secțiunii studiate va fi întotdeauna mai mică decât valoarea sa pentru bază.
Triunghiular se obține atunci când planul intersectează figura de-a lungul axei sale de rotație. Forma secțiunii rezultate va fi un triunghi isoscel, ale cărui laturi sunt diametrul bazei și doi generatori ai conului. Cum să găsiți aria secțiunii transversale a unui triunghiular? Răspunsul la această întrebare va fi următoarea formulă:
S2=rh
Această egalitate se obține prin aplicarea formulei pentru aria unui triunghi arbitrar prin lungimea bazei și înălțimea acestuia.
Secțiuni prismă
Prisma este o clasă mare de figuri care se caracterizează prin prezența a două baze poligonale identice paralele între ele,legate prin paralelograme. Orice secțiune a unei prisme este un poligon. Având în vedere diversitatea figurilor luate în considerare (prisme oblice, drepte, n-gonale, regulate, concave), varietatea secțiunilor acestora este de asemenea mare. Mai jos, luăm în considerare doar câteva cazuri speciale.
Dacă planul de tăiere este paralel cu baza, atunci aria secțiunii transversale a prismei va fi egală cu aria acestei baze.
Dacă planul trece prin centrele geometrice ale celor două baze, adică este paralel cu marginile laterale ale figurii, atunci în secțiune se formează un paralelogram. În cazul prismelor drepte și regulate, secțiunea considerată va fi un dreptunghi.
piramida
Pyramid este un alt poliedru care constă dintr-un n-gon și n triunghiuri. Mai jos este prezentat un exemplu de piramidă triunghiulară.
Dacă secțiunea este trasată de un plan paralel cu baza n-gonală, atunci forma acesteia va fi exact egală cu forma bazei. Aria unei astfel de secțiuni este calculată prin formula:
S1=So(h-z)2/h 2
Unde z este distanța de la bază la planul secțiunii, So este aria bazei.
Dacă planul de tăiere conține vârful piramidei și intersectează baza acesteia, atunci obținem o secțiune triunghiulară. Pentru a-i calcula aria, trebuie să vă referiți la utilizarea formulei adecvate pentru un triunghi.
