Cercul este figura principală în geometrie, ale cărei proprietăți sunt luate în considerare la școală în clasa a VIII-a. Una dintre problemele tipice asociate cu un cerc este găsirea zonei unei părți a acestuia, care se numește sector circular. Articolul oferă formule pentru aria unui sector și lungimea arcului său, precum și un exemplu de utilizare a acestora pentru rezolvarea unei anumite probleme.
Conceptul de cerc și cerc
Înainte de a da formula pentru aria unui sector al unui cerc, să luăm în considerare care este cifra indicată. Conform definiției matematice, un cerc este înțeles ca o astfel de figură pe un plan, toate punctele fiind echidistante de un punct (centru).
Când luați în considerare un cerc, se folosește următoarea terminologie:
- Radiu - un segment care este desenat de la punctul central la curba cercului. Este de obicei notat cu litera R.
- Diametrul este un segment care leagă două puncte ale cercului, dar trece și prin centrul figurii. Este de obicei notat cu litera D.
- Arcul face parte dintr-un cerc curbat. Se măsoară fie în unități de lungime, fie folosind unghiuri.
Cercul este o altă figură importantă de geometrie, este o colecție de puncte care este delimitată de un cerc curbat.
Zona și circumferința cercului
Valorile notate în titlul articolului sunt calculate folosind două formule simple. Acestea sunt enumerate mai jos:
- Circumferința: L=2piR.
- Zona unui cerc: S=piR2.
În aceste formule, pi este o constantă numită Pi. Este irațională, adică nu poate fi exprimată exact ca o simplă fracție. Pi este de aproximativ 3,1416.
După cum puteți vedea din expresiile de mai sus, pentru a calcula aria și lungimea, este suficient să cunoașteți doar raza cercului.
Aria sectorului cercului și lungimea arcului acestuia
Înainte de a lua în considerare formulele corespunzătoare, reamintim că unghiul în geometrie este de obicei exprimat în două moduri principale:
- în grade sexagesimale și o rotație completă în jurul axei sale este de 360o;
- în radiani, exprimat ca fracții de pi și raportat la grade prin următoarea ecuație: 2pi=360o.
Sectorul unui cerc este o figură delimitată de trei linii: un arc de cerc și două raze situate la capetele acestui arc. Un exemplu de sector circular este prezentat în fotografia de mai jos.
Să-ți faci o idee despre ce este un sector pentru un cerc, este ușorînțelegeți cum să calculați aria sa și lungimea arcului corespunzător. Din figura de mai sus se poate observa că arcul sectorului corespunde unghiului θ. Știm că un cerc complet corespunde cu 2pi radiani, deci formula pentru aria unui sector circular va lua forma: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Aici unghiul θ este exprimat în radiani. O formulă similară pentru zona sectorului, dacă unghiul θ este măsurat în grade, va arăta astfel: S1=piθR2 /360.
Lungimea arcului care formează un sector se calculează prin formula: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Și dacă θ este cunoscut în grade, atunci: L1=piθR/180.
Exemplu de rezolvare a problemelor
Să folosim exemplul unei probleme simple pentru a arăta cum să folosiți formulele pentru aria unui sector de cerc și lungimea arcului său.
Se știe că roata are 12 spițe. Când roata face o rotație completă, acoperă o distanță de 1,5 metri. Care este zona cuprinsă între două spițe adiacente ale roții și care este lungimea arcului dintre ele?
După cum puteți vedea din formulele corespunzătoare, pentru a le utiliza, trebuie să cunoașteți două mărimi: raza cercului și unghiul arcului. Raza poate fi calculată din cunoașterea circumferinței roții, deoarece distanța parcursă de aceasta într-o rotație îi corespunde exact. Avem: 2Rpi=1,5, de unde: R=1,5/(2pi)=0,2387 metri. Unghiul dintre cele mai apropiate spițe poate fi determinat cunoscând numărul acestora. Presupunând că toate cele 12 spițe împart cercul în mod egal în sectoare egale, obținem 12 sectoare identice. În consecință, măsura unghiulară a arcului dintre cele două spițe este: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radian.
Am găsit toate valorile necesare, acum ele pot fi înlocuite în formule și pot calcula valorile cerute de starea problemei. Primim: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, sau 149 cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m sau 12,5 cm.
