Una dintre figurile care apare la rezolvarea problemelor geometrice în spațiu este un con. Spre deosebire de poliedre, aparține clasei figurilor de rotație. Să luăm în considerare în articol ce se înțelege prin geometrie și să explorăm caracteristicile diferitelor secțiuni ale conului.
Con în geometrie
Să presupunem că există o curbă în plan. Poate fi o parabolă, un cerc, o elipsă și așa mai departe. Luați un punct care nu aparține planului specificat și conectați toate punctele curbei la acesta. Suprafața rezultată se numește con sau pur și simplu con.
Dacă curba inițială este închisă, atunci suprafața conică poate fi umplută cu materie. Figura obținută în acest fel este un corp tridimensional. Se mai numește și con. Mai jos sunt afișate mai multe conuri de hârtie.
Suprafața conică se găsește în viața de zi cu zi. De exemplu, un cornet de înghețată sau un cornet de trafic în dungi are această formă, care este conceput pentru a atrage atenția șoferilor șipietoni.
Tipuri de conuri
După cum ați putea ghici, cifrele luate în considerare diferă unele de altele prin tipul de curbă pe care sunt formate. De exemplu, există un con rotund sau unul eliptic. Această curbă se numește baza figurii. Cu toate acestea, forma bazei nu este singura caracteristică care permite clasificarea conurilor.
A doua caracteristică importantă este poziția înălțimii față de bază. Înălțimea unui con este un segment de linie dreaptă, care este coborât din partea de sus a figurii până în planul bazei și este perpendicular pe acest plan. Dacă înălțimea intersectează baza în centrul geometric (de exemplu, în centrul cercului), atunci conul va fi drept, dacă segmentul perpendicular cade în orice alt punct al bazei sau dincolo de acesta, atunci figura va fi oblic.
În continuare în articol vom lua în considerare doar un con rotund drept ca un reprezentant luminos al clasei considerate de figuri.
Numele geometrice ale elementelor conice
S-a spus mai sus că conul are bază. Este delimitat de un cerc, care se numește ghidajul conului. Segmentele care leagă ghidajul de un punct care nu se află în planul bazei se numesc generatoare. Setul tuturor punctelor generatoarelor se numește suprafața conică sau laterală a figurii. Pentru un con rotund drept, toate generatoarele au aceeași lungime.
Punctul în care generatoarele se intersectează se numește vârful figurii. Spre deosebire de poliedre, un con are un singur vârf și numargine.
O linie dreaptă care trece prin partea de sus a figurii și centrul cercului se numește axă. Axa conține înălțimea unui con drept, deci formează un unghi drept cu planul bazei. Aceste informații sunt importante atunci când se calculează aria secțiunii axiale a conului.
Con rotund drept - cifra de rotație
Conul considerat este o figură destul de simetrică, care poate fi obținută ca urmare a rotației triunghiului. Să presupunem că avem un triunghi cu unghi drept. Pentru a obține un con, este suficient să rotiți acest triunghi în jurul unuia dintre picioare, așa cum se arată în figura de mai jos.
Se poate observa că axa de rotație este axa conului. Unul dintre picioare va fi egal cu înălțimea figurii, iar al doilea picior va deveni raza bazei. Ipotenuza unui triunghi ca rezultat al rotației va descrie o suprafață conică. Va fi generatoarea conului.
Această metodă de obținere a unui con rotund drept este convenabil de utilizat pentru a studia relația matematică dintre parametrii liniari ai figurii: înălțimea h, raza bazei rotunde r și ghidajul g. Formula corespunzătoare rezultă din proprietățile unui triunghi dreptunghic. Este listat mai jos:
g2=h2+ r2.
Deoarece avem o ecuație și trei variabile, aceasta înseamnă că pentru a seta în mod unic parametrii unui con rotund, trebuie să cunoașteți oricare două cantități.
Secțiuni ale unui con după un plan care nu conține vârful figurii
Problema construirii secțiunilor unei figuri nu estebanal. Cert este că forma secțiunii conului după suprafață depinde de poziția relativă a figurii și a secantei.
Să presupunem că intersectăm conul cu un plan. Care va fi rezultatul acestei operații geometrice? Opțiunile pentru forma secțiunii sunt afișate în figura de mai jos.
Secțiunea roz este un cerc. Se formează ca urmare a intersecției figurii cu un plan care este paralel cu baza conului. Acestea sunt secțiuni perpendiculare pe axa figurii. Figura formată deasupra planului de tăiere este un con asemănător celui original, dar având un cerc mai mic la bază.
Secțiunea verde este o elipsă. Se obține dacă planul de tăiere nu este paralel cu baza, ci doar intersectează suprafața laterală a conului. O figură tăiată deasupra planului se numește con oblic eliptic.
Secțiunile albastre și portocalii sunt parabolice și, respectiv, hiperbolice. După cum puteți vedea din figură, acestea sunt obținute dacă planul de tăiere intersectează simultan suprafața laterală și baza figurii.
Pentru a determina zonele secțiunilor conului care au fost luate în considerare, este necesar să folosiți formulele pentru figura corespunzătoare din plan. De exemplu, pentru un cerc, acesta este numărul Pi înmulțit cu pătratul razei, iar pentru o elipsă, acesta este produsul lui Pi și lungimea semiaxelor minore și majore:
cerc: S=pir2;
elipsă: S=piab.
Secțiuni care conțin partea superioară a conului
Acum luați în considerare opțiunile pentru secțiuni care apar dacă planul de tăiere estetrece prin vârful conului. Sunt posibile trei cazuri:
- Secțiunea este un singur punct. De exemplu, un plan care trece prin vârf și paralel cu baza oferă exact o astfel de secțiune.
- Secțiunea este o linie dreaptă. Această situație apare atunci când planul este tangent la o suprafață conică. Linia dreaptă a secțiunii în acest caz va fi generatoarea conului.
- Secțiune axială. Se formează atunci când planul conține nu numai partea de sus a figurii, ci și întreaga sa axă. În acest caz, planul va fi perpendicular pe baza rotundă și va împărți conul în două părți egale.
Evident, zonele primelor două tipuri de secțiuni sunt egale cu zero. În ceea ce privește aria secțiunii transversale a conului pentru al treilea tip, această problemă este discutată mai detaliat în paragraful următor.
Secțiunea axială
S-a remarcat mai sus că secțiunea axială a unui con este figura formată atunci când conul este intersectat de un plan care trece prin axa acestuia. Este ușor de ghicit că această secțiune va reprezenta figura prezentată în figura de mai jos.
Acesta este un triunghi isoscel. Vârful secțiunii axiale a conului este vârful acestui triunghi, format prin intersecția laturilor identice. Acestea din urmă sunt egale cu lungimea generatricei conului. Baza triunghiului este diametrul bazei conului.
Calculul ariei secțiunii axiale a unui con se reduce la găsirea ariei triunghiului rezultat. Dacă raza bazei r și înălțimea h a conului sunt cunoscute inițial, atunci aria S a secțiunii luate în considerare va fi:
S=hr.
Acestexpresia este o consecință a aplicării formulei standard pentru aria unui triunghi (jumătate din produsul înălțimii cu baza).
Rețineți că, dacă generatoarea unui con este egală cu diametrul bazei sale rotunde, atunci secțiunea axială a conului este un triunghi echilateral.
O secțiune triunghiulară se formează atunci când planul de tăiere este perpendicular pe baza conului și trece prin axa acestuia. Orice alt plan paralel cu cel numit va da o hiperbolă în secțiune. Totuși, dacă planul conține vârful conului și intersectează baza acestuia nu prin diametru, atunci secțiunea rezultată va fi și un triunghi isoscel.
Problema determinării parametrilor liniari ai conului
Să arătăm cum să folosim formula scrisă pentru aria secțiunii axiale pentru a rezolva o problemă geometrică.
Se știe că aria secțiunii axiale a conului este de 100 cm2. Triunghiul rezultat este echilateral. Care este înălțimea conului și raza bazei acestuia?
Deoarece triunghiul este echilateral, înălțimea lui h este legată de lungimea laturii a, după cum urmează:
h=√3/2a.
Având în vedere că latura triunghiului este de două ori mai mare decât raza bazei conului și înlocuind această expresie în formula pentru aria secțiunii transversale, obținem:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Atunci înălțimea conului este:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Rămâne să înlocuim valoarea zonei din starea problemeiși obțineți răspunsul:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
În ce domenii este important să cunoașteți parametrii secțiunilor luate în considerare?
Studiul diferitelor tipuri de secțiuni de con nu prezintă doar interes teoretic, ci are și aplicații practice.
În primul rând, trebuie remarcată zona aerodinamicii, unde cu ajutorul secțiunilor conice este posibilă crearea unor forme netede ideale ale corpurilor solide.
În al doilea rând, secțiunile conice sunt traiectorii de-a lungul cărora obiectele spațiale se mișcă în câmpuri gravitaționale. Ce tip specific de secțiune reprezintă traiectoria mișcării corpurilor cosmice ale sistemului este determinat de raportul dintre masele lor, vitezele absolute și distanțele dintre ele.
