Când studiezi stereometria, unul dintre subiectele principale este „Cilindrul”. Suprafața laterală este considerată, dacă nu principala, atunci o formulă importantă în rezolvarea problemelor geometrice. Cu toate acestea, este important să rețineți definițiile care vă vor ajuta să navigați printre exemple și atunci când demonstrați diverse teoreme.
Concept de cilindru
Mai întâi trebuie să luăm în considerare câteva definiții. Numai după ce le-am studiat, se poate începe să se ia în considerare problema formulei pentru zona suprafeței laterale a unui cilindru. Pe baza acestei intrări, pot fi calculate alte expresii.
- O suprafață cilindrică este înțeleasă ca un plan descris de o generatrică, care se deplasează și rămâne paralel cu o direcție dată, alunecând de-a lungul unei curbe existente.
- Există și o a doua definiție: o suprafață cilindrică este formată dintr-un set de linii paralele care intersectează o curbă dată.
- Generativ se numește în mod convențional înălțimea cilindrului. Când se mișcă în jurul unei axe care trece prin centrul bazei,se obține corpul geometric desemnat.
- Sub axă se înțelege o linie dreaptă care trece prin ambele baze ale figurii.
- Un cilindru este un corp stereometric delimitat de o suprafață laterală care se intersectează și de 2 plane paralele.
Există varietăți ale acestei figuri tridimensionale:
- Circular este un cilindru al cărui ghidaj este un cerc. Componentele sale principale sunt raza bazei și generatoarea. Acesta din urmă este egal cu înălțimea figurii.
- Există un cilindru drept. Și-a primit numele datorită perpendicularității generatricei la bazele figurii.
- Al treilea fel este un cilindru teșit. În manuale, puteți găsi și un alt nume pentru acesta - „cilindr circular cu o bază teșită”. Această cifră definește raza bazei, înălțimile minime și maxime.
- Un cilindru echilateral este înțeles ca un corp având înălțimea și diametrul egal cu un plan circular.
Simboluri
În mod tradițional, principalele „componente” ale unui cilindru sunt numite după cum urmează:
- Raza bazei este R (de asemenea, înlocuiește aceeași valoare a unei figuri stereometrice).
- Generativ – L.
- Înălțime – H.
- Zona de bază - Sbază(cu alte cuvinte, trebuie să găsiți parametrul cerc specificat).
- Înălțimi cilindrului teșit – h1, h2(minim și maxim).
- Suprafața laterală - Sside (dacă o extindeți, obținețiun fel de dreptunghi).
- Volumul unei figuri stereometrice - V.
- Suprafața totală – S.
„Componentele” unei figuri stereometrice
Când studiați un cilindru, suprafața laterală joacă un rol important. Acest lucru se datorează faptului că această formulă este inclusă în alte câteva, mai complexe. Prin urmare, este necesar să fii bine versat în teorie.
Principalele componente ale figurii sunt:
- Suprafață laterală. După cum știți, se obține datorită mișcării generatorului de-a lungul unei curbe date.
- Suprafața completă include bazele existente și planul lateral.
- Secțiunea unui cilindru, de regulă, este un dreptunghi situat paralel cu axa figurii. Altfel, se numește avion. Se pare că lungimea și lățimea sunt componente cu normă parțială ale altor figuri. Deci, condiționat, lungimile secțiunii sunt generatoare. Lățime - acorduri paralele ale unei figuri stereometrice.
- Secțiunea axială înseamnă locația planului prin centrul corpului.
- Și, în sfârșit, definiția finală. O tangentă este un plan care trece prin generatria cilindrului și în unghi drept cu secțiunea axială. În acest caz, trebuie îndeplinită o condiție. Generatorul specificat trebuie inclus în planul secțiunii axiale.
Formule de bază pentru lucrul cu un cilindru
Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți suprafața unui cilindru, este necesar să studiați principalele „componente” ale unei figuri stereometrice și formulele pentru găsirea acestora.
Aceste formule diferă prin aceea că mai întâi sunt date expresiile pentru cilindrul teșit, iar apoi pentru cel drept.
Exemple deconstruite
Sarcina 1.
Este necesar să se cunoască aria suprafeței laterale a cilindrului. Se dă diagonala secțiunii AC=8 cm (în plus, este axială). Când intră în contact cu generatoarea, se dovedește <ACD=30°
Decizie. Deoarece sunt cunoscute valorile diagonalei și unghiului, atunci în acest caz:
CD=ACcos 30°
Comentariu. Triunghiul ACD, în acest exemplu particular, este un triunghi dreptunghic. Aceasta înseamnă că câtul împărțirii CD și AC=cosinusul unghiului dat. Valoarea funcțiilor trigonometrice poate fi găsită într-un tabel special.
În mod similar, puteți găsi valoarea AD:
AD=ACsin 30°
Acum trebuie să calculați rezultatul dorit folosind următoarea formulare: aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu de două ori rezultatul înmulțirii „pi”, raza figurii și înălțimea acesteia. De asemenea, trebuie utilizată o altă formulă: zona bazei cilindrului. Este egal cu rezultatul înmulțirii „pi” cu pătratul razei. Și, în sfârșit, ultima formulă: suprafața totală. Este egal cu suma celor două zone anterioare.
Sarcina 2.
Se dau Cilindro. Volumul lor=128n cm³. Care cilindru are cel mai micsuprafață completă?
Decizie. Mai întâi trebuie să utilizați formulele pentru a afla volumul unei figuri și înălțimea acesteia.
Deoarece suprafața totală a unui cilindru este cunoscută din teorie, trebuie aplicată formula acestuia.
Dacă luăm în considerare formula rezultată în funcție de aria cilindrului, atunci „indicatorul” minim va fi atins în punctul extrem. Pentru a obține ultima valoare, trebuie să utilizați diferențierea.
Formulele pot fi vizualizate într-un tabel special pentru găsirea derivatelor. În viitor, rezultatul găsit este egalat cu zero și soluția ecuației este găsită.
Răspuns: Smin va fi atins la h=1/32 cm, R=64 cm.
Problema 3.
Dată o figură stereometrică - un cilindru și o secțiune. Acesta din urmă este realizat în așa fel încât să fie situat paralel cu axa corpului stereometric. Cilindrul are următorii parametri: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm Este necesar să găsiți distanța dintre secțiune și axă.
Decizie.
Deoarece secțiunea transversală a unui cilindru este înțeleasă a fi VSCM, adică un dreptunghi, latura sa VM=h. WMC trebuie luat în considerare. Triunghiul este dreptunghiular. Pe baza acestei afirmații, putem deduce ipoteza corectă că MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
De aici putem concluziona că MK=BC=8 cm.
Următorul pas este să desenați o secțiune prin baza figurii. Este necesar să se ia în considerare planul rezultat.
AD – diametrul unei figuri stereometrice. Este paralel cu secțiunea menționată în declarația problemei.
BC este o linie dreaptă situată pe planul dreptunghiului existent.
ABCD este un trapez. Într-un anumit caz, este considerat isoscel, deoarece în jurul lui este descris un cerc.
Dacă găsiți înălțimea trapezului rezultat, puteți obține răspunsul dat la începutul problemei. Și anume: găsirea distanței dintre axă și secțiunea desenată.
Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valorile AD și OS.
Răspuns: secțiunea este situată la 3 cm de axă.
Probleme la consolidarea materialului
Exemplu 1.
Cilindru dat. Suprafața laterală este utilizată în soluția ulterioară. Alte variante sunt cunoscute. Aria bazei este Q, aria secțiunii axiale este M. Este necesar să găsiți S. Cu alte cuvinte, aria totală a cilindrului.
Exemplu 2.
Cilindru dat. Suprafața laterală trebuie găsită într-unul din etapele de rezolvare a problemei. Se știe că înălțimea=4 cm, raza=2 cm. Este necesar să se găsească aria totală a unei figuri stereometrice.
