Când luați în considerare figurile din spațiu, apar adesea probleme în determinarea suprafeței acestora. O astfel de figură este conul. Luați în considerare în articol care este suprafața laterală a unui con cu bază rotundă, precum și a unui trunchi de con.
Con cu bază rotundă
Înainte de a trece la luarea în considerare a suprafeței laterale a conului, vom arăta ce fel de figură este și cum se obține prin metode geometrice.
Ia un triunghi dreptunghic ABC, unde AB și AC sunt catete. Să punem acest triunghi pe piciorul AC și să-l rotim în jurul piciorului AB. Ca rezultat, laturile AC și BC descriu două suprafețe ale figurii prezentate mai jos.
Figura obținută prin rotație se numește con rotund drept. Este rotund pentru că baza sa este un cerc și drept pentru că o perpendiculară desenată din vârful figurii (punctul B) intersectează cercul din centrul său. Lungimea acestei perpendiculare se numește înălțime. Evident, este egal cu piciorul AB. Înălțimea este de obicei indicată cu litera h.
Pe lângă înălțime, conul considerat este descris de încă două caracteristici liniare:
- generator sau generator (ipotenuză BC);
- raza de bază (picior AC).
Raza va fi notată cu litera r, iar generatoarea cu g. Apoi, ținând cont de teorema lui Pitagora, putem nota egalitatea importantă pentru figura luată în considerare:
g2=h2+ r2
Suprafață conică
Totalitatea tuturor generatricelor formează o suprafață conică sau laterală a unui con. În aparență, este dificil de spus cărei figuri plate îi corespunde. Acesta din urmă este important de știut atunci când se determină suprafața unei suprafețe conice. Pentru a rezolva această problemă, se folosește metoda de măturare. Constă în următoarele: o suprafață este tăiată mental de-a lungul unei generatrice arbitrare și apoi este desfășurată pe un plan. Cu această metodă de obținere a unei mături, se formează următoarea figură plată.
După cum ați putea ghici, cercul corespunde bazei, dar sectorul circular este o suprafață conică, a cărei zonă ne interesează. Sectorul este delimitat de două generatrice și un arc. Lungimea acestuia din urmă este exact egală cu perimetrul (lungimea) circumferinței bazei. Aceste caracteristici determină în mod unic toate proprietățile sectorului circular. Nu vom da calcule matematice intermediare, ci imediat scrieți formula finală, folosind care puteți calcula aria suprafeței laterale a conului. Formula este:
Sb=pigr
Aria unei suprafețe conice Sbeste egală cu produsul dintre doi parametri și Pi.
Trunchi de con și suprafața acestuia
Dacă luăm un con obișnuit și îi tăiem vârful cu un plan paralel, figura rămasă va fi un trunchi de con. Suprafața sa laterală este limitată de două baze rotunde. Să notăm razele lor ca R și r. Notăm înălțimea figurii cu h, iar generatoarea cu g. Mai jos este un decupaj de hârtie pentru această cifră.
Se vede că suprafața laterală nu mai este un sector circular, este mai mică ca suprafață, din moment ce partea centrală a fost tăiată din ea. Dezvoltarea este limitată la patru linii, două dintre ele sunt segmente-generatoare de linie dreaptă, celel alte două sunt arce cu lungimile cercurilor corespunzătoare ale bazelor trunchiului de con.
Suprafața laterală Sbcalculată după cum urmează:
Sb=pig(r + R)
Generatria, razele și înălțimea sunt legate prin următoarea egalitate:
g2=h2+ (R - r)2
Problema cu egalitatea zonelor cifrelor
Avand in vedere un con cu in altimea de 20 cm si raza bazei de 8 cm. Este necesar sa se afle in altimea unui trunchi de con a carui suprafata laterala va avea aceeasi suprafata cu acest con. Figura trunchiată este construită pe aceeași bază, iar raza bazei superioare este de 3 cm.
În primul rând, să notăm condiția de egalitate a ariilor conului și a figurii trunchiate. Avem:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Acum să scriem expresiile pentru generatoarele fiecărei forme:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Înlocuiți g1 și g2 în formula pentru suprafețe egale și pătrați laturile stânga și dreapta, obținem:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
De unde obținem expresia pentru h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Nu vom simplifica această egalitate, ci pur și simplu vom înlocui datele cunoscute din condiția:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Astfel, pentru a egala ariile suprafetelor laterale ale figurilor, trunchiul de con trebuie sa aiba parametrii: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
