Studiul proprietăților figurilor spațiale joacă un rol important în rezolvarea problemelor practice. Știința care se ocupă de figurile din spațiu se numește stereometrie. În acest articol, din punctul de vedere al geometriei solide, vom lua în considerare un con și vom arăta cum să găsim aria unui con.
Con cu bază rotundă
În cazul general, un con este o suprafață construită pe o curbă plană, toate punctele care sunt conectate prin segmente cu un punct în spațiu. Acesta din urmă se numește vârful conului.
Din definiția de mai sus, este clar că o curbă poate avea o formă arbitrară, cum ar fi parabolică, hiperbolică, eliptică și așa mai departe. Cu toate acestea, în practică și în problemele de geometrie, este adesea un con rotund care este adesea întâlnit. Este afișat în imaginea de mai jos.
Aici simbolul r denotă raza cercului situat la baza figurii, h este perpendiculara pe planul cercului, care este desenat din vârful figurii. Se numește înălțime. Valoarea s este generatoarea conului sau generatoarea acestuia.
Se poate observa că segmentele r, h și sformează un triunghi dreptunghic. Dacă se rotește în jurul catetei h, atunci ipotenuza s va descrie suprafața conică, iar catetul r formează baza rotundă a figurii. Din acest motiv, conul este considerat o figură a revoluției. Cei trei parametri liniari numiți sunt interconectați prin egalitate:
s2=r2+ h2
Rețineți că egalitatea dată este valabilă numai pentru un con rotund drept. O figură dreaptă este doar dacă înălțimea ei cade exact în centrul cercului de bază. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci figura se numește oblică. Diferența dintre conurile drepte și cele oblice este prezentată în figura de mai jos.
Dezvoltarea formei
Studiarea suprafeței unui con este convenabil de efectuat, considerându-l în plan. Acest mod de a reprezenta suprafața figurilor în spațiu se numește dezvoltarea lor. Pentru un con, această dezvoltare poate fi obținută după cum urmează: trebuie să luați o figură făcută, de exemplu, din hârtie. Apoi, cu foarfecele, tăiați baza rotundă din jurul circumferinței. După aceea, de-a lungul generatricei, faceți o tăietură a suprafeței conice și transformați-o într-un plan. Rezultatul acestor operații simple va fi dezvoltarea conului, prezentată în figura de mai jos.
După cum puteți vedea, suprafața unui con poate fi într-adevăr reprezentată într-un plan. Este format din următoarele două părți:
- cerc cu raza r reprezentând baza figurii;
- sector circular cu raza g, care este o suprafață conică.
Formula pentru aria unui con implică găsirea zonelor ambelor suprafețe desfăcute.
Calculează aria suprafeței unei figuri
Să împărțim sarcina în două etape. Mai întâi găsim aria bazei conului, apoi aria suprafeței conice.
Prima parte a problemei este ușor de rezolvat. Deoarece raza r este dată, este suficient să amintim expresia corespunzătoare pentru aria unui cerc pentru a calcula aria bazei. Să-l notăm:
So=pi × r2
Dacă raza nu este cunoscută, atunci ar trebui mai întâi să o găsiți folosind formula relației dintre ea, înălțime și generator.
A doua parte a problemei de a găsi zona unui con este ceva mai complicată. Rețineți că sectorul circular este construit pe raza g a generatricei și este delimitat de un arc a cărui lungime este egală cu circumferința cercului. Acest fapt vă permite să scrieți proporția și să găsiți unghiul sectorului considerat. Să o notăm cu litera greacă φ. Acest unghi va fi egal cu:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Cunoscând unghiul central φ al unui sector circular, puteți folosi proporția adecvată pentru a-i găsi aria. Să-l notăm cu simbolul Sb. Va fi egal cu:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Adică aria suprafeței conice corespunde produsului generatricei g, raza bazei r și numărul Pi.
Știind care sunt domeniile ambelorsuprafețe considerate, putem scrie formula finală pentru aria unui con:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Expresia scrisă presupune cunoașterea a doi parametri liniari ai conului pentru a calcula S. Dacă g sau r este necunoscut, atunci ele pot fi găsite prin înălțimea h.
Problema calculului ariei unui con
Se știe că înălțimea unui con rotund drept este egală cu diametrul acestuia. Este necesar să se calculeze aria figurii, știind că aria bazei \u200b\u200biți este de 50 cm2.
Cunoscând aria unui cerc, puteți găsi raza figurii. Avem:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Acum să găsim generatorul g în termeni de h și r. Conform condiției, înălțimea h a figurii este egală cu două raze r, atunci:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
Formulele găsite pentru g și r ar trebui înlocuite în expresia pentru întreaga zonă a conului. Primim:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
În expresia rezultată înlocuim aria bazei So și notăm răspunsul: S ≈ 161,8 cm2.
