Ce este asta - un con? Definiție, proprietăți, formule și un exemplu de rezolvare a problemei

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Un con este una dintre figurile spațiale de rotație, ale căror caracteristici și proprietăți sunt studiate prin stereometrie. În acest articol, vom defini această figură și vom lua în considerare formulele de bază care conectează parametrii liniari ai unui con cu suprafața și volumul acestuia.

Ce este un con?

Din punct de vedere al geometriei, vorbim despre o figură spațială, care este formată dintr-un set de segmente drepte care leagă un anumit punct din spațiu cu toate punctele unei curbe plane netede. Această curbă poate fi un cerc sau o elipsă. Figura de mai jos arată un con.

Figura prezentată nu are volum, deoarece pereții suprafeței sale au o grosime infinitezimală. Cu toate acestea, dacă este umplut cu o substanță și delimitat de sus nu de o curbă, ci de o figură plată, de exemplu, un cerc, atunci vom obține un corp volumetric solid, care este denumit în mod obișnuit con.

Forma unui con poate fi adesea găsită în viață. Deci, are un cornet de înghețată sau conuri de trafic în dungi negre și portocalii care sunt puse pe carosabil pentru a atrage atenția participanților la trafic.

Elementele unui con și tipurile acestuia

Deoarece conul nu este un poliedru, numărul de elemente care îl formează nu este la fel de mare ca pentru poliedre. În geometrie, un con general este format din următoarele elemente:

• bază, a cărei curbă de delimitare este numită directrix sau generatrix;
• de suprafața laterală, care este colecția tuturor punctelor segmentelor de linie dreaptă (generatrice) care leagă vârful și punctele curbei de ghidare;
• vertex, care este punctul de intersecție al generatricelor.

Rețineți că vârful nu trebuie să se afle în planul bazei, deoarece în acest caz conul degenerează într-o figură plată.

Dacă desenăm un segment perpendicular de sus la bază, vom obține înălțimea figurii. Dacă ultima bază se intersectează în centrul geometric, atunci este un con drept. Dacă perpendiculara nu coincide cu centrul geometric al bazei, atunci figura va fi înclinată.

Conurile drepte și oblice sunt prezentate în figură. Aici, înălțimea și raza bazei conului sunt notate cu h și, respectiv, r. Linia care leagă vârful figurii și centrul geometric al bazei este axa conului. Din figură se poate observa că pentru o figură dreaptă, înălțimea se află pe această axă, iar pentru o figură înclinată, înălțimea formează un unghi cu axa. Axa conului este indicată de litera a.

Con drept cu bază rotundă

Poate, acest con este cel mai comun din clasa considerată de figuri. Este format dintr-un cerc și o laturăsuprafete. Nu este greu de obținut prin metode geometrice. Pentru a face acest lucru, luați un triunghi dreptunghic și rotiți-l în jurul unei axe care coincide cu unul dintre picioare. Evident, acest picior va deveni înălțimea figurii, iar lungimea celui de-al doilea picior al triunghiului formează raza bazei conului. Diagrama de mai jos demonstrează schema descrisă pentru obținerea cifrei de rotație în cauză.

Triunghiul ilustrat poate fi rotit în jurul unui alt picior, ceea ce va avea ca rezultat un con cu o rază de bază mai mare și o înălțime mai mică decât primul.

Pentru a determina fără ambiguitate toți parametrii unui con rotund drept, ar trebui să cunoaștem oricare dintre caracteristicile sale liniare. Dintre acestea se disting raza r, înălțimea h sau lungimea generatricei g. Toate aceste mărimi sunt lungimile laturilor triunghiului dreptunghic considerat, prin urmare, teorema lui Pitagora este valabilă pentru legătura lor:

g²=r²+ h^2.

Suprafață

Când studiați suprafața oricărei figuri tridimensionale, este convenabil să folosiți dezvoltarea acesteia pe un plan. Conul nu face excepție. Pentru un con rotund, evoluția este prezentată mai jos.

Vedem că desfășurarea figurii constă din două părți:

1. Cercul care formează baza conului.
2. Sectorul cercului, care este suprafața conică a figurii.

Aria unui cerc este ușor de găsit, iar formula corespunzătoare este cunoscută de fiecare elev. Vorbind despre sectorul circular, remarcăm că acestaface parte dintr-un cerc cu raza g (lungimea generatricei conului). Lungimea arcului acestui sector este egală cu circumferința bazei. Acești parametri fac posibilă determinarea fără ambiguitate a zonei sale. Formula corespunzătoare este:

S=pir2+ pirg.

Primul și al doilea termen din expresie sunt conul bazei și, respectiv, suprafața laterală a zonei.

Dacă lungimea generatorului g este necunoscută, dar este dată înălțimea h a cifrei, atunci formula poate fi rescrisă ca:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Volumul figurii

Dacă luăm o piramidă dreaptă și creștem numărul de laturi ale bazei sale la infinit, atunci forma bazei va tinde spre un cerc, iar suprafața laterală a piramidei se va apropia de suprafața conică. Aceste considerații ne permit să folosim formula pentru volumul unei piramide atunci când calculăm o valoare similară pentru un con. Volumul unui con poate fi găsit folosind formula:

V=1/3hS_o.

Această formulă este întotdeauna adevărată, indiferent de baza conului, având aria S_{o. În plus, formula se aplică și conului oblic.}

Deoarece studiem proprietățile unei figuri drepte cu o bază rotundă, putem folosi următoarea expresie pentru a-i determina volumul:

V=1/3hpir2.

Formula este evidentă.

Problema de a găsi suprafața și volumul

Să se dea un con, a cărui rază este de 10 cm, iar lungimea generatricei este de 20consultați Necesitatea de a determina volumul și suprafața acestei forme.

Pentru a calcula aria S, puteți utiliza imediat formula scrisă mai sus. Avem:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Pentru a determina volumul, trebuie să cunoașteți înălțimea h a figurii. O calculăm folosind relația dintre parametrii liniari ai conului. Primim:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Acum puteți folosi formula pentru V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83 cm}3^.

Rețineți că volumul unui con rotund este o treime din cilindrul în care este înscris.