Fiecare elev a auzit de un con rotund și își imaginează cum arată această figură tridimensională. Acest articol definește dezvoltarea unui con, furnizează formule care descriu caracteristicile acestuia și descrie cum să-l construiești folosind o busolă, un raportor și o linie dreaptă.
Con circular în geometrie
Să oferim o definiție geometrică a acestei figuri. Un con rotund este o suprafață care este formată din segmente de linie dreaptă care leagă toate punctele unui anumit cerc cu un singur punct în spațiu. Acest punct unic nu trebuie să aparțină planului în care se află cercul. Dacă luăm un cerc în loc de un cerc, atunci această metodă duce și la un con.
Cercul se numește baza figurii, circumferința lui este directriza. Segmentele care leagă punctul de directrice se numesc generatoare sau generatoare, iar punctul în care se intersectează este vârful conului.
Conul rotund poate fi drept și oblic. Ambele cifre sunt prezentate în figura de mai jos.
Diferența dintre ele este următoarea: dacă perpendiculara din vârful conului cade exact în centrul cercului, atunci conul va fi drept. Pentru el, perpendiculara, care se numește înălțimea figurii, face parte din axa lui. În cazul unui con oblic, înălțimea și axa formează un unghi ascuțit.
Datorită simplității și simetriei figurii, vom lua în considerare în continuare proprietățile numai unui con drept cu o bază rotundă.
Obținerea unei forme folosind rotația
Înainte de a trece la considerarea dezvoltării suprafeței unui con, este util să știm cum poate fi obținută această figură spațială folosind rotația.
Să presupunem că avem un triunghi dreptunghic cu laturile a, b, c. Primele două dintre ele sunt catete, c este ipotenuza. Să punem un triunghi pe piciorul a și să începem să-l rotim în jurul piciorului b. Ipotenuza c va descrie apoi o suprafață conică. Această tehnică simplă a conurilor este prezentată în diagrama de mai jos.
Evident, catetul a va fi raza bazei figurii, catetul b va fi înălțimea acesteia, iar ipotenuza c corespunde generatricei unui con rotund drept.
Vedere despre dezvoltarea conului
După cum ați putea ghici, conul este format din două tipuri de suprafețe. Unul dintre ele este un cerc de bază plat. Să presupunem că are raza r. A doua suprafață este laterală și se numește conică. Fie generatorul său egal cu g.
Dacă avem un con de hârtie, atunci putem lua foarfece și tăiem baza din el. Apoi, suprafața conică trebuie tăiatăde-a lungul oricărei generatrice și desfășurați-l în avion. In acest fel am obtinut o dezvoltare a suprafetei laterale a conului. Cele două suprafețe, împreună cu conul original, sunt prezentate în diagrama de mai jos.
Cercul de bază este reprezentat în dreapta jos. Suprafața conică desfășurată este prezentată în centru. Rezultă că corespunde unui sector circular al cercului, a cărui rază este egală cu lungimea generatricei g.
Sweep unghi și zonă
Acum obținem formule care, folosind parametrii cunoscuți g și r, ne permit să calculăm aria și unghiul conului.
Evident, arcul sectorului circular prezentat mai sus în figură are o lungime egală cu circumferința bazei, adică:
l=2pir.
Dacă s-ar construi întreg cercul cu raza g, atunci lungimea lui ar fi:
L=2pig.
Deoarece lungimea L corespunde cu 2pi radiani, atunci unghiul pe care se sprijină arcul l poate fi determinat din proporția corespunzătoare:
L==>2pi;
l==> φ.
Atunci unghiul necunoscut φ va fi egal cu:
φ=2pil/L.
Înlocuind expresiile pentru lungimile l și L, ajungem la formula pentru unghiul de dezvoltare al suprafeței laterale a conului:
φ=2pir/g.
Unghiul φ aici este exprimat în radiani.
Pentru a determina aria Sb a unui sector circular, vom folosi valoarea găsită a lui φ. Mai facem o proporție, doar pentru zone. Avem:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
De unde să exprimați Sb, apoi înlocuiți valoarea unghiului φ. Primim:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Pentru aria unei suprafețe conice, am obținut o formulă destul de compactă. Valoarea lui Sb este egală cu produsul a trei factori: pi, raza figurii și generatoarea acesteia.
Atunci aria întregii suprafețe a figurii va fi egală cu suma lui Sb și So (circular zona de bază). Obținem formula:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Construirea unui con pe hârtie
Pentru a finaliza această sarcină, veți avea nevoie de o bucată de hârtie, un creion, un raportor, o riglă și o busolă.
În primul rând, să desenăm un triunghi dreptunghic cu laturile de 3 cm, 4 cm și 5 cm. Rotirea acestuia în jurul piciorului de 3 cm va da conul dorit. Cifra are r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Crearea unei maturi va începe prin a trasa cu o busolă un cerc cu raza r. Lungimea sa va fi egală cu 6pi cm. Acum lângă el vom desena un alt cerc, dar cu o rază g. Lungimea sa va corespunde cu 10pi cm. Acum trebuie să tăiem un sector circular dintr-un cerc mare. Unghiul său φ este:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Acum lăsăm deoparte acest unghi cu un raportor pe un cerc cu raza g și desenăm două raze care vor limita sectorul circular.
DeciAstfel, am construit o dezvoltare a conului cu parametrii specificați de rază, înălțime și generatrix.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme geometrice
Din un con rotund drept. Se știe că unghiul măturarii laterale a acestuia este de 120o. Este necesar să se afle raza și generatoarea acestei figuri, dacă se știe că înălțimea h a conului este de 10 cm.
Sarcina nu este dificilă dacă ne amintim că un con rotund este o figură de rotație a unui triunghi dreptunghic. Din acest triunghi decurge o relație neechivocă între înălțime, rază și generatrix. Să scriem formula corespunzătoare:
g2=h2+ r2.
A doua expresie de folosit la rezolvare este formula pentru unghiul φ:
φ=2pir/g.
Astfel, avem două ecuații care relaționează două mărimi necunoscute (r și g).
Exprimați g din a doua formulă și înlocuiți rezultatul în prima, obținem:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Unghiul φ=120o în radiani este 2pi/3. Înlocuim această valoare, obținem formulele finale pentru r și g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Rămâne să înlocuiți valoarea înălțimii și să obțineți răspunsul la întrebarea problemă: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
