Geometria este o ramură a matematicii care studiază structurile din spațiu și relația dintre ele. La rândul său, este format și din secțiuni, iar una dintre ele este stereometria. Acesta prevede studiul proprietăților figurilor volumetrice situate în spațiu: un cub, o piramidă, o minge, un con, un cilindru etc.
Un con este un corp din spațiul euclidian care delimitează o suprafață conică și un plan pe care se află capetele generatoarelor sale. Formarea sa are loc în procesul de rotație a unui triunghi dreptunghic în jurul oricăruia dintre picioarele sale, de aceea aparține corpurilor de revoluție.
Componente de con
Se disting următoarele tipuri de conuri: oblice (sau oblice) și drepte. Oblic este cel a cărui axă se intersectează cu centrul bazei sale nu într-un unghi drept. Din acest motiv, înălțimea într-un astfel de con nu coincide cu axa, deoarece este un segment care este coborât din partea superioară a corpului până în planul său.baza la 90°.
Acel con, a cărui axă este perpendiculară pe baza sa, se numește con drept. Axa și înălțimea într-un astfel de corp geometric coincid datorită faptului că vârful din acesta este situat deasupra centrului diametrului bazei.
Conul este format din următoarele elemente:
- Cercul care este baza sa.
- lateral.
- Un punct care nu se află în planul bazei, numit vârful conului.
- Segmente care leagă punctele cercului bazei corpului geometric și vârful acestuia.
Toate aceste segmente sunt generatrice ale conului. Ele sunt înclinate spre baza corpului geometric, iar în cazul unui con drept proiecțiile lor sunt egale, deoarece vârful este echidistant de punctele cercului de bază. Astfel, putem concluziona că într-un con regulat (drept), generatoarele sunt egale, adică au aceeași lungime și formează aceleași unghiuri cu axa (sau înălțimea) și baza.
Deoarece într-un corp de revoluție oblic (sau înclinat) vârful este deplasat față de centrul planului de bază, generatoarele dintr-un astfel de corp au lungimi și proiecții diferite, deoarece fiecare dintre ei se află la o distanță diferită. din oricare două puncte ale cercului de bază. În plus, unghiurile dintre ele și înălțimea conului vor fi și ele diferite.
Lungimea generatoarelor într-un con drept
Așa cum am scris mai devreme, înălțimea într-un corp geometric drept de revoluție este perpendiculară pe planul bazei. Astfel, generatoarea, înălțimea și raza bazei creează un triunghi dreptunghic în con.
Adică, cunoscând raza bazei și înălțimea, folosind formula din teorema lui Pitagora, puteți calcula lungimea generatricei, care va fi egală cu suma pătratelor razei bazei și înălțime:
l2 =r2+ h2 sau l=√r 2 + h2
unde l este o generatrix;
r – raza;
h – înălțime.
Generativ într-un con oblic
Pe baza faptului că într-un con oblic sau oblic generatoarele nu sunt de aceeași lungime, nu se va putea calcula fără construcții și calcule suplimentare.
În primul rând, trebuie să știți înălțimea, lungimea axei și raza bazei.
Avand aceste date, puteti calcula partea de raza situata intre axa si in altime, folosind formula din teorema lui Pitagora:
r1=√k2 - h2
unde r1 este partea din raza dintre axă și înălțime;
k – lungimea axei;
h – înălțime.
Ca urmare a adăugării razei (r) și a părții sale situate între axă și înălțime (r1), puteți afla toată partea din dreapta triunghi format din generatoarea conului, partea lui de înălțime și diametru:
R=r + r1
unde R este catelul triunghiului format din înălțimea, generatria și o parte din diametrul bazei;
r – raza bazei;
r1 – o parte a razei dintre axă și înălțime.
Folosind aceeași formulă din teorema lui Pitagora, puteți găsi lungimea generatricei conului:
l=√h2+ R2
sau, fără a calcula R separat, combinați cele două formule într-una singură:
l=√h2 + (r + r1)2.
În ciuda faptului că este un con drept sau oblic și ce fel de date de intrare, toate metodele de găsire a lungimii generatricei se reduc întotdeauna la un singur rezultat - utilizarea teoremei lui Pitagora.
Secțiunea conului
Secțiunea axială a unui con este un plan care trece de-a lungul axei sau înălțimii sale. Într-un con drept, o astfel de secțiune este un triunghi isoscel, în care înălțimea triunghiului este înălțimea corpului, laturile sale sunt generatoarele, iar baza este diametrul bazei. Într-un corp geometric echilateral, secțiunea axială este un triunghi echilateral, deoarece în acest con diametrul bazei și al generatoarelor sunt egale.
Planul secțiunii axiale într-un con drept este planul simetriei acestuia. Motivul pentru aceasta este că vârful său este deasupra centrului bazei sale, adică planul secțiunii axiale împarte conul în două părți identice.
Deoarece înălțimea și axa nu se potrivesc într-un solid înclinat, planul secțiunii axiale poate să nu includă înălțimea. Dacă este posibil să construiți un set de secțiuni axiale într-un astfel de con, deoarece trebuie respectată o singură condiție pentru aceasta - trebuie să treacă numai prin axă, atunci o singură secțiune axială a planului, care va aparține înălțimii de acest con, poate fi desenat, deoarece numărul de condiții crește și, după cum se știe, două linii (împreună) pot aparținedoar un avion.
Zona secțiunii
Secțiunea axială a conului menționat mai devreme este un triunghi. Pe baza acestui fapt, aria sa poate fi calculată folosind formula pentru aria unui triunghi:
S=1/2dh sau S=1/22rh
unde S este aria secțiunii transversale;
d – diametrul bazei;
r – raza;
h – înălțime.
Într-un con oblic sau oblic, secțiunea de-a lungul axei este, de asemenea, un triunghi, deci aria secțiunii transversale din acesta este calculată în mod similar.
Volum
Deoarece un con este o figură tridimensională în spațiul tridimensional, putem calcula volumul acestuia. Volumul unui con este un număr care caracterizează acest corp într-o unitate de volum, adică în m3. Calculul nu depinde dacă este drept sau oblic (oblic), deoarece formulele pentru aceste două tipuri de corpuri nu diferă.
Așa cum s-a menționat mai devreme, formarea unui con drept are loc datorită rotației unui triunghi dreptunghic de-a lungul unuia dintre catetele sale. Un con înclinat sau oblic se formează diferit, deoarece înălțimea sa este deplasată de centrul planului de bază al corpului. Cu toate acestea, astfel de diferențe de structură nu afectează metoda de calcul al volumului său.
Calcul volumului
Formula pentru volumul oricărui con arată astfel:
V=1/3πhr2
unde V este volumul conului;
h – înălțime;
r – raza;
π - constantă egală cu 3, 14.
Pentru a calcula volumul unui con, trebuie să aveți date despre înălțimea și raza bazei corpului.
Pentru a calcula înălțimea unui corp, trebuie să cunoașteți raza bazei și lungimea generatricei sale. Deoarece raza, înălțimea și generatoarea sunt combinate într-un triunghi dreptunghic, înălțimea poate fi calculată folosind formula din teorema lui Pitagora (a2+ b2=c 2 sau, în cazul nostru, h2+ r2=l2 , unde l - generator). În acest caz, înălțimea va fi calculată prin extragerea rădăcinii pătrate a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celăl alt catet:
a=√c2- b2
Adica in altimea conului va fi egala cu valoarea obtinuta in urma extragerii radacinii patrate din diferenta dintre patratul lungimii generatricei si patratul razei bazei:
h=√l2 - r2
Calculând înălțimea folosind această metodă și cunoscând raza bazei sale, puteți calcula volumul conului. În acest caz, generatoarea joacă un rol important, deoarece servește ca element auxiliar în calcule.
În mod similar, dacă cunoașteți înălțimea corpului și lungimea generatricei sale, puteți afla raza bazei sale extragând rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratul generatricei și pătratul înălțimii:
r=√l2 - h2
Apoi, folosind aceeași formulă ca mai sus, calculați volumul conului.
Volum înclinat al conului
Deoarece formula pentru volumul unui con este aceeași pentru toate tipurile de corp de revoluție, diferența de calcul este căutarea înălțimii.
Pentru a afla înălțimea unui con înclinat, datele de intrare trebuie să includă lungimea generatricei, raza bazei și distanța dintre centrubaza și intersecția înălțimii corpului cu planul bazei acestuia. Știind acest lucru, puteți calcula cu ușurință acea parte a diametrului bazei, care va fi baza unui triunghi dreptunghic (format din înălțime, generatoare și planul bazei). Apoi, folosind din nou teorema lui Pitagora, calculați înălțimea conului și, ulterior, volumul acestuia.
