Studiul cantitativ al dinamicii și cinematicii mișcării de rotație necesită cunoașterea momentului de inerție al unui punct material și al unui corp rigid în raport cu axa de rotație. Vom lua în considerare în articol despre ce parametru vorbim și vom oferi, de asemenea, o formulă pentru determinarea acestuia.
Informații generale despre cantitatea fizică
În primul rând, să definim momentul de inerție al unui punct material și al unui corp rigid, apoi să arătăm cum ar trebui să fie utilizat în rezolvarea problemelor practice.
Sub caracteristica fizică indicată pentru un punct cu masa m, care se rotește în jurul axei la o distanță r, se înțelege următoarea valoare:
I=mr².
De unde rezultă că unitatea de măsură a parametrului studiat este kilogramele pe metru pătrat (kgm²).
Dacă, în loc de un punct în jurul unei axe, se rotește un corp de formă complexă, care are o distribuție arbitrară a masei în interiorul său, atunci se determină momentul său de inerțiedeci:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Unde ρ este densitatea corpului. Folosind formula integrală, puteți determina valoarea lui I pentru absolut orice sistem de rotație.
Momentul de inerție are exact același sens pentru rotație ca și masa pentru mișcarea de translație. De exemplu, toată lumea știe că este mai ușor să rotiți un mop de podea în jurul unei axe care trece prin mânerul său decât printr-unul perpendicular. Acest lucru se datorează faptului că momentul de inerție în primul caz este mult mai mic decât în al doilea.
Valoare I pentru corpuri de diferite forme
La rezolvarea problemelor de fizică pentru rotație, este adesea necesar să se cunoască momentul de inerție pentru un corp cu o anumită formă geometrică, de exemplu, pentru un cilindru, bilă sau tijă. Dacă aplicăm formula scrisă mai sus pentru I, atunci este ușor să obținem expresia corespunzătoare pentru toate corpurile marcate. Mai jos sunt formulele pentru unele dintre ele:
tijă: I=1 / 12ML²;
cilindru: I=1 / 2MR²;
sferă: I=2 / 5MR².
Aici sunt date I pentru axa de rotație, care trece prin centrul de masă al corpului. În cazul unui cilindru, axa este paralelă cu generatorul figurii. Momentul de inerție pentru alte corpuri geometrice și opțiunile de amplasare a axelor de rotație pot fi găsite în tabelele corespunzătoare. Rețineți că pentru a determina I cifre diferite, este suficient să cunoașteți un singur parametru geometric și masa corpului.
Teorema și formula lui Steiner
Momentul de inerție poate fi determinat dacă axa de rotație este situată la o anumită distanță de corp. Pentru a face acest lucru, ar trebui să cunoașteți lungimea acestui segment și valoarea IOa corpului în raport cu axa care trece prin centrul masei sale, care ar trebui să fie paralelă cu cea de sub considerare. Stabilirea unei legături între parametrul IO și valoarea necunoscută I este fixată în teorema lui Steiner. Momentul de inerție al unui punct material și al unui corp rigid se scrie matematic după cum urmează:
I=IO+ Mh2.
Aici M este masa corpului, h este distanța de la centrul de masă la axa de rotație, față de care este necesar să se calculeze I. Această expresie este ușor de obținut pe cont propriu dacă utilizați formula integrală pentru I și luați în considerare că toate punctele corpului sunt la distanțe r=r0 + h.
Teorema lui Steiner simplifică foarte mult definiția lui I pentru multe situații practice. De exemplu, dacă trebuie să găsiți I pentru o tijă de lungime L și masă M față de o axă care trece prin capătul ei, atunci aplicarea teoremei Steiner vă permite să scrieți:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Puteți să consultați tabelul corespunzător și să vedeți că acesta conține exact această formulă pentru o tijă subțire cu o axă de rotație la capăt.
Ecuația momentului
În fizica rotației există o formulă numită ecuația momentelor. Arată așa:
M=Iα.
Aici M este momentul forței, α este accelerația unghiulară. După cum puteți vedea, momentul de inerție al unui punct material și al unui corp rigid și momentul de forță sunt legate liniar unul de celăl alt. Valoarea M determină posibilitatea unei forțe F de a crea o mișcare de rotație cu accelerația α în sistem. Pentru a calcula M, utilizați următoarea expresie simplă:
M=Fd.
Unde d este umărul momentului, care este egală cu distanța de la vectorul forță F la axa de rotație. Cu cât brațul d este mai mic, cu atât forța va avea mai puțină capacitate de a crea rotația sistemului.
Ecuația momentelor în sensul ei este pe deplin în concordanță cu a doua lege a lui Newton. În acest caz, eu joacă rolul masei inerțiale.
Exemplu de rezolvare a problemelor
Să ne imaginăm un sistem care este un cilindru fixat pe o axă verticală cu o tijă orizontală fără greutate. Se știe că axa de rotație și axa principală a cilindrului sunt paralele între ele, iar distanța dintre ele este de 30 cm. Masa cilindrului este de 1 kg, iar raza lui este de 5 cm. O forță de 10 N tangentă la traiectoria de rotație acționează asupra figurii, al cărei vector trece prin axa principală a cilindrului. Este necesar să se determine accelerația unghiulară a figurii, pe care o va provoca această forță.
În primul rând, să calculăm momentul de inerție al cilindrului I. Pentru a face acest lucru, aplicam teorema Steiner, avem:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Înainte de a utiliza ecuația momentului, trebuiedeterminați momentul forței M. În acest caz, avem:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Acum puteți determina accelerația:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Accelerația unghiulară calculată indică faptul că în fiecare secundă viteza cilindrului va crește cu 5,2 rotații pe secundă.
