În descrierea matematică a mișcării de rotație, este important să cunoaștem momentul de inerție al sistemului față de axă. În cazul general, procedura de aflare a acestei cantităţi presupune implementarea procesului de integrare. Așa-numita teoremă Steiner face mai ușor de calculat. Să o luăm în considerare mai detaliat în articol.
Ce este momentul de inerție?
Înainte de a da formularea teoremei lui Steiner, este necesar să ne ocupăm de conceptul însuși al momentului de inerție. Să presupunem că există un corp cu o anumită masă și formă arbitrară. Acest corp poate fi fie un punct material, fie orice obiect bidimensional sau tridimensional (tijă, cilindru, bilă etc.). Dacă obiectul în cauză face o mișcare circulară în jurul unei axe cu accelerație unghiulară constantă α, atunci se poate scrie următoarea ecuație:
M=Iα
Aici, valoarea M reprezintă momentul total al forțelor, care dă accelerație α întregului sistem. Se numește coeficientul de proporționalitate dintre ele - Imoment de inerție. Această mărime fizică este calculată folosind următoarea formulă generală:
I=∫m (r2dm)
Aici r este distanța dintre elementul cu masa dm și axa de rotație. Această expresie înseamnă că este necesar să se găsească suma produselor distanțelor pătrate r2 și masa elementară dm. Adică momentul de inerție nu este o caracteristică pură a corpului, ceea ce îl deosebește de inerția liniară. Depinde de distribuția masei în întregul obiect care se rotește, precum și de distanța față de axă și de orientarea corpului față de acesta. De exemplu, o tijă va avea un I diferit dacă este rotită în jurul centrului de masă și în jurul capătului.
Moment de inerție și teorema lui Steiner
Renumitul matematician elvețian, Jakob Steiner, a demonstrat teorema privind axele paralele și momentul de inerție, care îi poartă acum numele. Această teoremă postulează că momentul de inerție pentru absolut orice corp rigid de geometrie arbitrară în raport cu o axă de rotație este egal cu suma momentului de inerție în jurul axei care intersectează centrul de masă al corpului și este paralel cu prima., iar produsul masei corporale cu pătratul distanței dintre aceste axe. Matematic, această formulare este scrisă după cum urmează:
IZ=IO + ml2
IZ și IO - momente de inerție în jurul axei Z și a axei O paralele cu aceasta, care trece prin centrul de masă al corpului, l - distanța dintre liniile Z și O.
Teorema permite, cunoscând valoarea lui IO, să se calculezeorice alt moment IZ despre o axă care este paralelă cu O.
Demonstrarea teoremei
Formula teoremei Steiner poate fi obținută cu ușurință de unul singur. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un corp arbitrar pe planul xy. Lăsați originea coordonatelor să treacă prin centrul de masă al acestui corp. Să calculăm momentul de inerție IO care trece prin originea perpendiculară pe planul xy. Deoarece distanța până la orice punct al corpului este exprimată prin formula r=√ (x2 + y2), atunci obținem integrala:
IO=∫m (r2dm)=∫ m ((x2+y2) dm)
Acum să mutam axa paralelă de-a lungul axei x cu o distanță l, de exemplu, în direcția pozitivă, apoi calculul pentru noua axă a momentului de inerție va arăta astfel:
IZ=∫m(((x+l)2+y 2)dm)
Măriți întregul pătrat între paranteze și împărțiți integranții, obținem:
IZ=∫m ((x2+l 2+2xl+y2)dm)=∫m ((x2 +y2)dm) + 2l∫m (xdm) + l 2∫mdm
Primul dintre acești termeni este valoarea IO, al treilea termen, după integrare, dă termenul l2m, iar aici al doilea termen este zero. Reducerea la zero a integralei specificate se datorează faptului că este luată din produsul dintre x și elementele de masă dm, care înmedie dă zero, deoarece centrul de masă este la origine. Ca rezultat, se obține formula teoremei Steiner.
Cazul considerat pe plan poate fi generalizat la un corp tridimensional.
Verificarea formulei Steiner pe exemplul unei lansete
Să dăm un exemplu simplu pentru a demonstra cum se utilizează teorema de mai sus.
Se știe că pentru o tijă de lungime L și masă m, momentul de inerție IO(axa trece prin centrul de masă) este egal cu m L2 /12, iar momentul IZ (axa trece prin capătul tijei) este egal cu mL 2/3. Să verificăm aceste date folosind teorema lui Steiner. Deoarece distanța dintre cele două axe este L/2, atunci obținem momentul IZ:
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
Adică am verificat formula Steiner și am obținut aceeași valoare pentru IZ ca în sursă.
Calcule similare pot fi efectuate pentru alte corpuri (cilindru, bilă, disc), obținându-se momentele de inerție necesare, și fără a efectua integrarea.
Moment de inerție și axe perpendiculare
Teorema luată în considerare se referă la axe paralele. Pentru a completa informațiile, este de asemenea util să se dea o teoremă pentru axele perpendiculare. Se formulează după cum urmează: pentru un obiect plat de formă arbitrară, momentul de inerție în jurul unei axe perpendiculare pe aceasta va fi egal cu suma a două momente de inerție aproximativ două reciproc perpendiculare și situate.în planul obiectului axelor, toate cele trei axe trecând prin același punct. Matematic, aceasta este scrisă după cum urmează:
Iz=Ix + Iy
Aici z, x, y sunt trei axe de rotație reciproc perpendiculare.
Diferența esențială dintre această teoremă și teorema lui Steiner este că este aplicabilă numai obiectelor solide plate (bidimensionale). Cu toate acestea, în practică este utilizat pe scară largă, tăind mental corpul în straturi separate, apoi adăugând momentele de inerție obținute.
