Poliedrele au atras atenția matematicienilor și a oamenilor de știință chiar și în cele mai vechi timpuri. Egiptenii au construit piramidele. Iar grecii au studiat „poliedrele regulate”. Ele sunt uneori numite solide platonice. „Poliedre tradiționale” constau din fețe plate, muchii drepte și vârfuri. Dar întrebarea principală a fost întotdeauna ce reguli trebuie să îndeplinească aceste părți separate, precum și ce condiții globale suplimentare trebuie îndeplinite pentru ca un obiect să se califice drept poliedru. Răspunsul la această întrebare va fi prezentat în articol.
Probleme în definiție
În ce constă această cifră? Un poliedru este o formă solidă închisă care are fețe plate și muchii drepte. Prin urmare, prima problemă a definiției sale poate fi numită tocmai laturile figurii. Nu toate fețele aflate în plan sunt întotdeauna semnul unui poliedru. Să luăm ca exemplu „cilindrul triunghiular”. În ce constă? O parte a suprafeței sale trei în perechiplanurile verticale care se intersectează nu pot fi considerate poligoane. Motivul este că nu are vârfuri. Suprafața unei astfel de figuri este formată pe baza a trei raze care se întâlnesc într-un punct.
Încă o problemă - avioanele. În cazul „cilindrului triunghiular” se află în părțile lor nelimitate. O figură este considerată convexă dacă segmentul de dreaptă care leagă oricare două puncte din mulțime se află și în ea. Să prezentăm una dintre proprietățile lor importante. Pentru mulțimile convexe, se înțelege că mulțimea de puncte comune mulțimii este aceeași. Există un alt tip de cifre. Acestea sunt poliedre 2D neconvexe, care fie au crestături, fie găuri.
Forme care nu sunt poliedre
Un set plat de puncte poate fi diferit (de exemplu, neconvex) și să nu satisfacă definiția obișnuită a unui poliedru. Chiar și prin ea, este limitat de secțiuni de linii. Liniile unui poliedru convex constau din figuri convexe. Cu toate acestea, această abordare a definiției exclude o cifră care merge la infinit. Un exemplu în acest sens ar fi trei raze care nu se întâlnesc în același punct. Dar, în același timp, ele sunt conectate la vârfurile unei alte figuri. În mod tradițional, era important pentru un poliedru ca acesta să fie format din suprafețe plane. Dar, de-a lungul timpului, conceptul s-a extins, ceea ce a condus la o îmbunătățire semnificativă a înțelegerii clasei inițiale „mai înguste” de poliedre, precum și la apariția unei noi definiții mai ample.
Corect
Să introducem încă o definiție. Un poliedru regulat este unul în care fiecare față este o regulată congruentăpoligoane convexe, iar toate vârfurile sunt „la fel”. Aceasta înseamnă că fiecare vârf are același număr de poligoane regulate. Folosiți această definiție. Deci puteți găsi cinci poliedre obișnuite.
Primii pași către teorema lui Euler pentru poliedre
Grecii știau despre poligon, care astăzi se numește pentagramă. Acest poligon ar putea fi numit regulat deoarece toate laturile sale sunt de lungime egală. Există și o altă notă importantă. Unghiul dintre două laturi consecutive este întotdeauna același. Cu toate acestea, atunci când este desenat într-un plan, nu definește o mulțime convexă, iar laturile poliedrului se intersectează între ele. Cu toate acestea, nu a fost întotdeauna cazul. Matematicienii au luat în considerare de multă vreme ideea de poliedre regulate „non-convexe”. Pentagrama a fost una dintre ele. Au fost permise și „poligoane stelare”. Au fost descoperite mai multe exemple noi de „poliedre regulate”. Acum se numesc poliedre Kepler-Poinsot. Mai târziu, G. S. M. Coxeter și Branko Grünbaum au extins regulile și au descoperit alte „poliedre obișnuite”.
Formulă poliedrică
Studiul sistematic al acestor cifre a început relativ devreme în istoria matematicii. Leonhard Euler a fost primul care a observat că o formulă care leagă numărul de vârfuri, fețe și muchii ale acestora este valabilă pentru poliedre 3D convexe.
Ea arată astfel:
V + F - E=2, unde V este numărul de vârfuri poliedrice, F este numărul de muchii ale poliedrelor și E este numărul de fețe.
Leonhard Euler este elvețianmatematician care este considerat unul dintre cei mai mari și mai productivi oameni de știință ai tuturor timpurilor. A fost orb aproape toată viața, dar pierderea vederii i-a dat un motiv să devină și mai productiv. Există mai multe formule care poartă numele lui, iar cea la care tocmai ne-am uitat se numește uneori formula poliedrelor lui Euler.
Există o clarificare. Formula lui Euler, însă, funcționează numai pentru poliedre care urmează anumite reguli. Ele se află în faptul că forma nu ar trebui să aibă găuri. Și este inacceptabil să se crucifice. De asemenea, un poliedru nu poate fi format din două părți unite, cum ar fi două cuburi cu același vârf. Euler a menționat rezultatul cercetării sale într-o scrisoare către Christian Goldbach din 1750. Mai târziu, a publicat două lucrări în care a descris cum a încercat să găsească dovezi ale noii sale descoperiri. De fapt, există forme care dau un răspuns diferit la V + F - E. Răspunsul la suma F + V - E=X se numește caracteristica lui Euler. Ea are un alt aspect. Unele forme pot avea chiar și o caracteristică Euler care este negativă
Teoria graficelor
Uneori se pretinde că Descartes a derivat mai devreme teorema lui Euler. Deși acest om de știință a descoperit fapte despre poliedre tridimensionale care i-ar permite să obțină formula dorită, el nu a făcut acest pas suplimentar. Astăzi, Euler este creditat cu „părintele” teoriei grafurilor. El a rezolvat problema podului Konigsberg folosind ideile sale. Dar omul de știință nu a privit poliedrul în contextteoria grafurilor. Euler a încercat să demonstreze o formulă bazată pe descompunerea unui poliedru în părți mai simple. Această încercare nu corespunde standardelor moderne de probă. Deși Euler nu a dat prima justificare corectă formulei sale, nu se pot dovedi presupuneri care nu au fost făcute. Cu toate acestea, rezultatele, care au fost fundamentate ulterior, fac posibilă utilizarea teoremei lui Euler și în prezent. Prima demonstrație a fost obținută de matematicianul Adrian Marie Legendre.
Dovada formulei lui Euler
Euler a formulat mai întâi formula poliedrică ca o teoremă asupra poliedrelor. Astăzi este adesea tratată în contextul mai general al graficelor conectate. De exemplu, ca structuri formate din puncte și segmente de linie care le conectează, care se află în aceeași parte. Augustin Louis Cauchy a fost prima persoană care a găsit această legătură importantă. A servit ca o dovadă a teoremei lui Euler. El, în esență, a observat că graficul unui poliedru convex (sau ceea ce se numește astăzi astfel) este homeomorf din punct de vedere topologic unei sfere, are un graf conexat planar. Ce este? Un graf plan este unul care a fost desenat în plan în așa fel încât marginile sale să se întâlnească sau să se intersecteze doar la un vârf. Aici a fost găsită legătura dintre teorema lui Euler și grafice.
Un indiciu al importanței rezultatului este că David Epstein a reușit să adune șaptesprezece probe diferite. Există multe moduri de a justifica formula poliedrică a lui Euler. Într-un fel, cele mai evidente dovezi sunt metodele care folosesc inducția matematică. Rezultatul poate fi doveditdesenați-l de-a lungul numărului de muchii, fețe sau vârfuri ale graficului.
Dovada lui Rademacher și Toeplitz
Deosebit de atractivă este următoarea dovadă a lui Rademacher și Toeplitz, bazată pe abordarea lui Von Staudt. Pentru a justifica teorema lui Euler, presupunem că G este un graf conex încorporat într-un plan. Dacă are scheme, este posibil să se excludă câte o margine din fiecare dintre ele astfel încât să se păstreze proprietatea că rămâne conectată. Există o corespondență unu-la-unu între părțile îndepărtate pentru a merge la graficul conectat fără închidere și cele care nu sunt o muchie infinită. Această cercetare a condus la clasificarea „suprafețelor orientabile” în ceea ce privește așa-numita caracteristică Euler.
Curba Iordaniei. Teorema
Teza principală, care este utilizată direct sau indirect în demonstrarea formulei poliedre a teoremei Euler pentru grafice, depinde de curba Jordan. Această idee este legată de generalizare. Se spune că orice curbă simplă închisă împarte planul în trei seturi: puncte pe el, în interiorul și în afara lui. Pe măsură ce interesul pentru formula poliedrică a lui Euler s-a dezvoltat în secolul al XIX-lea, s-au făcut multe încercări de generalizare a acesteia. Această cercetare a pus bazele dezvoltării topologiei algebrice și a legat-o cu algebra și teoria numerelor.
Grupul Moebius
S-a descoperit curând că unele suprafețe puteau fi „orientate” doar într-un mod consistent local, nu global. Renumitul grup Möbius servește ca o ilustrare a acestui lucrusuprafete. A fost descoperit ceva mai devreme de Johann Listing. Acest concept include noțiunea de gen al unui graf: cel mai mic număr de descriptori g. Trebuie adăugat la suprafața sferei și poate fi încorporat pe suprafața extinsă în așa fel încât marginile să se întâlnească doar la vârfuri. Se dovedește că orice suprafață orientabilă din spațiul euclidian poate fi considerată ca o sferă cu un anumit număr de mânere.
Diagrama Euler
Omul de știință a făcut o altă descoperire, care este folosită și astăzi. Această așa-numită diagramă Euler este o reprezentare grafică a cercurilor, folosită de obicei pentru a ilustra relațiile dintre mulțimi sau grupuri. Diagramele includ de obicei culori care se amestecă în zonele în care cercurile se suprapun. Seturile sunt reprezentate tocmai prin cercuri sau ovale, deși pentru ele pot fi folosite și alte figuri. O incluziune este reprezentată de o suprapunere de elipse numite cercuri Euler.
Reprezintă seturi și subseturi. Excepția sunt cercurile care nu se suprapun. Diagramele Euler sunt strâns legate de alte reprezentări grafice. Sunt adesea confuzi. Această reprezentare grafică se numește diagrame Venn. În funcție de seturile în cauză, ambele versiuni pot arăta la fel. Cu toate acestea, în diagramele Venn, cercurile suprapuse nu indică neapărat comunitatea între mulțimi, ci doar o posibilă relație logică dacă etichetele lor nu sunt încerc care se intersectează. Ambele opțiuni au fost adoptate pentru predarea teoriei mulțimilor ca parte a noii mișcări matematice din anii 1960.
Teoremele lui Fermat și Euler
Euler a lăsat o amprentă notabilă în știința matematică. Teoria numerelor algebrice a fost îmbogățită cu o teoremă numită după el. Este, de asemenea, o consecință a unei alte descoperiri importante. Aceasta este așa-numita teoremă Lagrange algebrică generală. Numele lui Euler este asociat și cu mica teoremă a lui Fermat. Se spune că dacă p este un număr prim și a este un număr întreg nedivizibil cu p, atunci:
ap-1 - 1 este divizibil cu p.
Uneori, aceeași descoperire are un alt nume, cel mai des întâlnit în literatura străină. Sună ca teorema de Crăciun a lui Fermat. Chestia este că descoperirea a devenit cunoscută datorită unei scrisori a unui om de știință trimisă în ajunul zilei de 25 decembrie 1640. Dar afirmația în sine a mai fost întâlnită. A fost folosit de un alt om de știință pe nume Albert Girard. Fermat a încercat doar să-și demonstreze teoria. Autorul sugerează într-o altă scrisoare că s-a inspirat din metoda coborârii infinite. Dar nu a oferit nicio dovadă. Mai târziu, și Eider a apelat la aceeași metodă. Și după el - mulți alți oameni de știință celebri, inclusiv Lagrange, Gauss și Minkosky.
Caracteristici ale identităților
Mica Teoremă a lui Fermat se mai numește și un caz special al unei teoreme din teoria numerelor datorită lui Euler. În această teorie, funcția de identitate Euler numără numere întregi pozitive până la un întreg dat n. Sunt coprime în ceea ce priveșten. Teorema lui Euler în teoria numerelor este scrisă folosind litera greacă φ și arată ca φ(n). Poate fi definit mai formal ca numărul de numere întregi k din intervalul 1 ≦ k ≦ n pentru care cel mai mare divizor comun gcd(n, k) este 1. Notația φ(n) poate fi numită și funcție phi a lui Euler. Numerele întregi k de această formă sunt uneori numite totative. În centrul teoriei numerelor, funcția de identitate a lui Euler este multiplicativă, ceea ce înseamnă că dacă două numere m și n sunt între prime, atunci φ(mn)=φ(m)φ(n). De asemenea, joacă un rol cheie în definirea sistemului de criptare RSA.
Funcția Euler a fost introdusă în 1763. Cu toate acestea, la acea vreme matematicianul nu a ales niciun simbol anume pentru ea. Într-o publicație din 1784, Euler a studiat această funcție mai detaliat și a ales litera greacă π pentru a o reprezenta. James Sylvester a inventat termenul „total” pentru această caracteristică. Prin urmare, este denumit și totalul lui Euler. Totalul φ(n) al unui număr întreg pozitiv n mai mare decât 1 este numărul de numere întregi pozitive mai mici decât n care sunt relativ prime până la n. φ(1) este definit ca 1. Funcția Euler sau funcția phi(φ) este o teoretică a numerelor foarte importantă o funcție profund legată de numerele prime și așa-numita ordine a numerelor întregi.
