Poliedrele nu numai că ocupă un loc proeminent în geometrie, ci apar și în viața de zi cu zi a fiecărei persoane. Ca să nu mai vorbim de articolele de uz casnic create artificial sub formă de diverse poligoane, începând cu o cutie de chibrituri și terminând cu elemente arhitecturale, cristale sub formă de cub (sare), prismă (cristal), piramidă (scheelit), octaedru (diamant), etc. e.
Conceptul de poliedru, tipuri de poliedre în geometrie
Geometria ca știință conține o secțiune de stereometrie care studiază caracteristicile și proprietățile figurilor tridimensionale. Corpurile geometrice, ale căror laturi în spațiul tridimensional sunt formate din planuri limitate (fețe), sunt numite „poliedre”. Tipurile de poliedre includ mai mult de o duzină de reprezentanți, care diferă prin numărul și forma fețelor.
Totuși, toate poliedrele au proprietăți comune:
- Toți au 3 componente esențiale: fața(suprafața unui poligon), vârf (colțuri formate la joncțiunea fețelor), margine (latura unei figuri sau un segment format la joncțiunea a două fețe).
- Fiecare margine de poligon conectează două și numai două fețe adiacente una cu ceal altă.
- Convexitatea înseamnă că corpul este complet situat doar pe o parte a planului pe care se află una dintre fețe. Regula se aplică tuturor fețelor poliedrului. Astfel de figuri geometrice în stereometrie se numesc poliedre convexe. Excepție fac poliedrele în formă de stea, care sunt derivate ale solidelor geometrice poliedrice obișnuite.
Poliedrele pot fi împărțite condiționat în:
- Tipuri de poliedre convexe, formate din următoarele clase: obișnuite sau clasice (prismă, piramidă, paralelipiped), regulate (numite și solide platonice), semiregulate (al doilea nume - solide arhimediene).
- Poliedre neconvexe (în formă de stea).
Prism și proprietățile sale
Stereometria ca ramură a geometriei studiază proprietățile figurilor tridimensionale, tipuri de poliedre (o prismă este una dintre ele). O prismă este un corp geometric care are în mod necesar două fețe absolut identice (se mai numesc și baze) situate în planuri paralele, iar al n-lea număr de fețe laterale sub formă de paralelograme. La rândul său, prisma are și mai multe varietăți, inclusiv tipuri de poliedre precum:
- Paralelepiped - format dacă baza este un paralelogram -poligon cu 2 perechi de unghiuri opuse egale și 2 perechi de laturi opuse congruente.
- O prismă dreaptă are marginile perpendiculare pe bază.
- Prisma înclinată se caracterizează prin prezența unghiurilor nedreapte (altele decât 90) între fețe și bază.
- O prismă regulată este caracterizată de baze sub forma unui poligon regulat cu fețe laterale egale.
Proprietăți de bază ale unei prisme:
- Baze congruente.
- Toate marginile prismei sunt egale și paralele între ele.
- Toate fețele laterale au formă de paralelogram.
piramida
Piramida este un corp geometric, care constă dintr-o bază și al n-lea număr de fețe triunghiulare, conectate într-un punct - vârful. Trebuie remarcat faptul că, dacă fețele laterale ale piramidei sunt reprezentate în mod necesar prin triunghiuri, atunci baza poate fi fie un poligon triunghiular, fie un patrulater, fie un pentagon și așa mai departe la infinit. În acest caz, numele piramidei va corespunde poligonului de la bază. De exemplu, dacă un triunghi se află la baza unei piramide, este o piramidă triunghiulară, un patrulater este unul patruunghiular etc.
Piramidele sunt poliedre asemănătoare conurilor. Tipurile de poliedre ale acestui grup, pe lângă cele enumerate mai sus, includ și următorii reprezentanți:
- O piramidă obișnuită are un poligon regulat la bază, iar înălțimea sa este proiectată în centruun cerc înscris în bază sau circumscris în jurul acestuia.
- O piramidă dreptunghiulară se formează atunci când una dintre marginile laterale se intersectează cu baza în unghi drept. În acest caz, este de asemenea corect să numim această margine înălțimea piramidei.
Proprietățile piramidei:
- Dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt congruente (de aceeași înălțime), atunci toate se intersectează cu baza la același unghi, iar în jurul bazei puteți desena un cerc cu un centru care coincide cu proiecția lui vârful piramidei.
- Dacă baza piramidei este un poligon regulat, atunci toate muchiile laterale sunt congruente, iar fețele sunt triunghiuri isoscele.
Poliedrul regulat: tipuri și proprietăți ale poliedrelor
În stereometrie, un loc aparte îl ocupă corpurile geometrice cu fețe absolut egale, la vârfurile cărora se leagă același număr de muchii. Aceste solide se numesc solide platonice sau poliedre regulate. Tipurile de poliedre cu astfel de proprietăți au doar cinci forme:
- Tetraedru.
- Hexaedru.
- octaedru.
- Dodecaedru.
- Icosaedru.
Poliedrele obișnuite își datorează numele filozofului grec antic Platon, care a descris aceste corpuri geometrice în scrierile sale și le-a legat de elementele naturale: pământ, apă, foc, aer. A cincea figură a primit asemănarea cu structura universului. În opinia sa, atomii elementelor naturale în formă seamănă cu tipurile de poliedre obișnuite. Datorită proprietății sale cele mai interesante -de simetrie, aceste corpuri geometrice au fost de mare interes nu numai pentru matematicienii și filozofii antici, ci și pentru arhitecții, artiștii și sculptorii din toate timpurile. Prezența a doar 5 tipuri de poliedre cu simetrie absolută a fost considerată o descoperire fundamentală, li s-a acordat chiar o legătură cu principiul divin.
Hexaedrul și proprietățile sale
În formă de hexagon, succesorii lui Platon au presupus o asemănare cu structura atomilor pământului. Desigur, în prezent, această ipoteză a fost complet infirmată, ceea ce, totuși, nu împiedică figurile să atragă mințile figurilor celebre cu estetica lor în timpurile moderne.
În geometrie, un hexaedru, cunoscut și sub numele de cub, este considerat un caz special de paralelipiped, care, la rândul său, este un fel de prismă. În consecință, proprietățile cubului sunt legate de proprietățile prismei, singura diferență fiind că toate fețele și colțurile cubului sunt egale între ele. Următoarele proprietăți decurg din aceasta:
- Toate muchiile cubului sunt congruente și se află în planuri paralele una față de alta.
- Toate fețele sunt pătrate congruente (sunt 6 în total într-un cub), dintre care oricare poate fi luat ca bază.
- Toate unghiurile de interfață sunt 90.
- Un număr egal de muchii emană din fiecare vârf, și anume 3.
- Cubul are 9 axe de simetrie, care toate se intersectează în punctul de intersecție al diagonalelor hexaedrului, numit centru de simetrie.
Tetraedru
Un tetraedru este un tetraedru cu fețe egale sub formă de triunghiuri, fiecare dintre vârfurile căroraeste punctul de joncțiune a trei fețe.
Proprietățile tetraedrului obișnuit:
- Toate fețele unui tetraedru sunt triunghiuri echilaterale, ceea ce înseamnă că toate fețele unui tetraedru sunt congruente.
- Deoarece baza este reprezentată printr-o figură geometrică obișnuită, adică are laturile egale, fețele tetraedrului converg la același unghi, adică toate unghiurile sunt egale.
- Suma unghiurilor plate la fiecare dintre vârfuri este 180, deoarece toate unghiurile sunt egale, atunci orice unghi al unui tetraedru obișnuit este 60.
- Fiecare dintre vârfuri este proiectat la punctul de intersecție al înălțimilor feței opuse (ortocentre).
Octoedrul și proprietățile sale
Descriind tipurile de poliedre regulate, nu se poate observa un astfel de obiect ca un octaedru, care poate fi reprezentat vizual ca două piramide regulate patrulatere lipite între ele prin baze.
Proprietățile octaedrului:
- Însuși numele unui corp geometric sugerează numărul fețelor sale. Octaedrul este format din 8 triunghiuri echilaterale congruente, în fiecare dintre vârfurile cărora converg un număr egal de fețe, și anume 4.
- Deoarece toate fețele unui octaedru sunt egale, unghiurile sale de interfață sunt, de asemenea, egale, fiecare dintre ele fiind egal cu 60, iar suma unghiurilor plane ale oricăruia dintre vârfuri este astfel 240.
Dodecaedru
Dacă ne imaginăm că toate fețele unui corp geometric sunt un pentagon obișnuit, atunci obținem un dodecaedru -o cifră de 12 poligoane.
Proprietățile dodecaedrului:
- Trei fețe se intersectează la fiecare vârf.
- Toate fețele sunt egale și au aceeași lungime a muchiei și aceeași zonă.
- Dodecaedrul are 15 axe și planuri de simetrie, iar oricare dintre ele trece prin vârful feței și mijlocul muchiei opuse.
Icosaedru
Nu mai puțin interesantă decât dodecaedrul, figura icosaedrului este un corp geometric tridimensional cu 20 de fețe egale. Printre proprietățile unui douăzeci de edruri obișnuite, pot fi remarcate următoarele:
- Toate fețele icosaedrului sunt triunghiuri isoscele.
- Cinci fețe converg la fiecare vârf al poliedrului, iar suma unghiurilor adiacente ale vârfului este 300.
- Icosaedrul, ca și dodecaedrul, are 15 axe și planuri de simetrie care trec prin punctele medii ale fețelor opuse.
Poligoane semiregulate
Pe lângă solidele platonice, grupul de poliedre convexe include și solidele arhimediene, care sunt poliedre regulate trunchiate. Tipurile de poliedre din acest grup au următoarele proprietăți:
- Corpurile geometrice au fețe egale pe perechi de mai multe tipuri, de exemplu, un tetraedru trunchiat are 8 fețe, ca un tetraedru obișnuit, dar în cazul unui solid arhimedian, 4 fețe vor fi triunghiulare și 4 vor fi hexagonale.
- Toate unghiurile unui vârf sunt congruente.
Poliedre stelate
Reprezentanții unor tipuri non-volumice de corpuri geometrice sunt poliedre stelate ale căror fețe se intersectează. Ele pot fi formate prin îmbinarea a două solide 3D obișnuite sau prin extinderea fețelor lor.
Astfel, astfel de poliedre stelate sunt cunoscute ca: forme stelate ale octaedrului, dodecaedrului, icosaedrului, cuboctaedrului, icosododecaedrului.
