Aria suprafeței laterale și volumul unei piramide trunchiate: formule și un exemplu de rezolvare a unei probleme tipice

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Când studiem proprietățile figurilor în spațiul tridimensional în cadrul stereometriei, de multe ori trebuie să rezolvi probleme pentru a determina volumul și suprafața. În acest articol, vom arăta cum să calculăm volumul și suprafața laterală pentru o piramidă trunchiată folosind formule binecunoscute.

Piramidă în geometrie

În geometrie, o piramidă obișnuită este o figură în spațiu, care este construită pe un n-gon plat. Toate vârfurile sale sunt conectate la un punct situat în afara planului poligonului. De exemplu, iată o fotografie care arată o piramidă pentagonală.

Această figură este formată din fețe, vârfuri și muchii. Fața pentagonală se numește bază. Fețele triunghiulare rămase formează suprafața laterală. Punctul de intersecție al tuturor triunghiurilor este vârful principal al piramidei. Dacă o perpendiculară este coborâtă de la ea la bază, atunci sunt posibile două opțiuni pentru poziția punctului de intersecție:

• în centrul geometric, apoi piramida se numește linie dreaptă;
• nu încentru geometric, atunci figura va fi oblică.

În continuare vom lua în considerare doar figuri drepte cu o bază n-gonală obișnuită.

Ce este această cifră - o piramidă trunchiată?

Pentru a determina volumul unei piramide trunchiate, este necesar să înțelegem clar ce cifră este în mod specific în discuție. Să clarificăm această problemă.

Să presupunem că luăm un plan de tăiere care este paralel cu baza unei piramide obișnuite și tăiem cu el o parte a suprafeței laterale. Dacă această operație se face cu piramida pentagonală prezentată mai sus, veți obține o astfel de cifră ca în figura de mai jos.

Din fotografie se poate observa că această piramidă are deja două baze, iar cea de sus este asemănătoare cu cea de jos, dar are dimensiuni mai mici. Suprafața laterală nu mai este reprezentată prin triunghiuri, ci prin trapeze. Sunt isoscele, iar numărul lor corespunde numărului de laturi ale bazei. Figura trunchiată nu are un vârf principal, ca o piramidă obișnuită, iar înălțimea sa este determinată de distanța dintre bazele paralele.

În cazul general, dacă figura luată în considerare este formată din baze n-gonale, are n+2 fețe sau laturi, 2n vârfuri și 3n muchii. Adică, piramida trunchiată este un poliedru.

Formula pentru volumul unei piramide trunchiate

Reamintim că volumul unei piramide obișnuite este 1/3 din produsul înălțimii și ariei bazei sale. Această formulă nu este potrivită pentru o piramidă trunchiată, deoarece are două baze. Și volumul luiva fi întotdeauna mai mică decât aceeași valoare pentru cifra obișnuită din care este derivată.

Fără a intra în detaliile matematice ale obținerii expresiei, vă prezentăm formula finală pentru volumul unei piramide trunchiate. Este scris astfel:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Aici S₁ și S_{2 sunt zonele bazei inferioare și, respectiv, h este înălțimea figurii. Expresia scrisă este valabilă nu numai pentru o piramidă trunchiată regulată dreaptă, ci și pentru orice figură din această clasă. Mai mult, indiferent de tipul poligoanelor de bază. Singura condiție care limitează utilizarea expresiei pentru V este necesitatea ca bazele piramidei să fie paralele între ele.}

Se pot trage câteva concluzii importante studiind proprietățile acestei formule. Deci, dacă aria bazei superioare este zero, atunci ajungem la formula pentru V a unei piramide obișnuite. Dacă ariile bazelor sunt egale între ele, atunci obținem formula pentru volumul prismei.

Cum se determină suprafața laterală?

Cunoașterea caracteristicilor unei piramide trunchiate necesită nu numai capacitatea de a calcula volumul acesteia, ci și de a ști cum să determine aria suprafeței laterale.

Piramida trunchiată este formată din două tipuri de fețe:

• trapeze isoscele;
• baze poligonale.

Dacă există un poligon regulat în baze, atunci calculul ariei sale nu reprezintă maredificultăți. Pentru a face acest lucru, trebuie să știți doar lungimea laturii a și numărul lor n.

În cazul unei suprafețe laterale, calculul ariei acesteia presupune determinarea acestei valori pentru fiecare dintre cele n trapeze. Dacă n-gonul este corect, atunci formula pentru suprafața laterală devine:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Aici h_b este înălțimea trapezului, care se numește apotema figurii. Cantitățile a₁ și a_{2sunt lungimile laturilor bazelor n-gonale regulate.}

Pentru fiecare piramidă trunchiată obișnuită n-gonală, apotema h_b poate fi definită în mod unic prin intermediul parametrilor a₁ și a _{2și înălțimea h a formei.}

Sarcina de a calcula volumul și aria unei figuri

Dată o piramidă trunchiată triunghiulară obișnuită. Se știe că înălțimea sa h este de 10 cm, iar lungimile laturilor bazelor sunt de 5 cm și 3 cm. Care sunt volumul piramidei trunchiate și aria suprafeței sale laterale?

În primul rând, să calculăm valoarea V. Pentru a face acest lucru, găsiți ariile triunghiurilor echilaterale situate la bazele figurii. Avem:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Înlocuiți datele în formula pentru V, obținem volumul dorit:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Pentru a determina suprafața laterală, ar trebui să știțilungimea apotema h_{b. Luând în considerare triunghiul dreptunghic corespunzător din interiorul piramidei, putem scrie egalitatea pentru acesta:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Valoarea apotemului și a laturilor bazelor triunghiulare sunt înlocuite în expresia pentru S_{bși obținem răspunsul:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Astfel, am răspuns la toate întrebările problemei: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.