Aria suprafeței laterale a unei piramide patrulatere obișnuite: formule și exemple de probleme

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Problemele geometrice tipice în plan și în spațiul tridimensional sunt problemele de determinare a suprafețelor de diferite forme. În acest articol, vă prezentăm formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide patrulatere obișnuite.

Ce este o piramidă?

Să oferim o definiție geometrică strictă a unei piramide. Să presupunem că există un poligon cu n laturi și n colțuri. Alegem un punct arbitrar din spațiu care nu va fi în planul n-gonului specificat și îl conectăm la fiecare vârf al poligonului. Vom obține o figură care are un anumit volum, care se numește piramidă n-gonală. De exemplu, să arătăm în figura de mai jos cum arată o piramidă pentagonală.

Două elemente importante ale oricărei piramide sunt baza (n-gon) și vârful acesteia. Aceste elemente sunt legate între ele prin n triunghiuri, care în general nu sunt egale între ele. Perpendiculară a scăzut de lade sus în jos se numește înălțimea figurii. Dacă intersectează baza în centrul geometric (coincide cu centrul de masă al poligonului), atunci o astfel de piramidă se numește linie dreaptă. Dacă, pe lângă această condiție, baza este un poligon regulat, atunci întreaga piramidă se numește regulată. Figura de mai jos arată cum arată piramidele regulate cu baze triunghiulare, patrulatere, pentagonale și hexagonale.

Suprafața piramidei

Înainte de a ne întoarce la problema zonei suprafeței laterale a unei piramide patruunghiulare obișnuite, ar trebui să ne oprim asupra conceptului de suprafață în sine.

Așa cum s-a menționat mai sus și se arată în figuri, orice piramidă este formată dintr-un set de fețe sau laturi. O latură este baza și n laturi sunt triunghiuri. Suprafața întregii figuri este suma ariilor fiecăreia dintre laturile sale.

Este convenabil să studiezi suprafața pe exemplul unei figuri care se desfășoară. O scanare pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită este prezentată în figurile de mai jos.

Vedem că suprafața sa este egală cu suma a patru arii de triunghiuri isoscele identice și aria unui pătrat.

Aria totală a tuturor triunghiurilor care formează laturile figurii se numește aria suprafeței laterale. În continuare, vom arăta cum să o calculăm pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită.

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate pătraunghiulare

Pentru a calcula aria lateraluluisuprafața figurii specificate, ne întoarcem din nou la scanarea de mai sus. Să presupunem că știm latura bazei pătrate. Să o notăm prin simbolul a. Se poate observa că fiecare dintre cele patru triunghiuri identice are o bază de lungime a. Pentru a calcula aria lor totală, trebuie să cunoașteți această valoare pentru un triunghi. Din cursul de geometrie se știe că aria unui triunghi S_{t este egală cu produsul bazei și înălțimii, care ar trebui împărțit la jumătate. Adică:}

S_t=1/2h_ba.

Unde h_b este înălțimea unui triunghi isoscel desenat la baza a. Pentru o piramidă, această înălțime este apotema. Acum rămâne să înmulțiți expresia rezultată cu 4 pentru a obține aria S_{b a suprafeței laterale pentru piramida în cauză:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Această formulă conține doi parametri: apotema și latura bazei. Dacă acesta din urmă este cunoscut în majoritatea condițiilor problemelor, atunci primul trebuie calculat cunoscând alte cantități. Iată formulele pentru calcularea apotemului h_{b pentru două cazuri:}

• când lungimea coastei laterale este cunoscută;
• când se cunoaște înălțimea piramidei.

Dacă notăm lungimea marginii laterale (latura unui triunghi isoscel) cu simbolul L, atunci apotema h_{b este determinată de formula:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Această expresie este rezultatul aplicării teoremei lui Pitagora pentru triunghiul suprafeței laterale.

Dacă se știeînălțimea h a piramidei, apoi apotema h_{b poate fi calculată după cum urmează:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Obținerea acestei expresii nu este, de asemenea, dificilă dacă luăm în considerare în interiorul piramidei un triunghi dreptunghic format din catetele h și a/2 și ipotenuza h_b.

Să arătăm cum să aplicăm aceste formule rezolvând două probleme interesante.

Problemă cu suprafața cunoscută

Se știe că aria suprafeței laterale a unei piramide patrulatere obișnuite este de 108 cm². Este necesar să se calculeze valoarea lungimii apotemei sale h_{b, dacă înălțimea piramidei este de 7 cm.}

Să scriem formula pentru aria S_{b a suprafeței laterale prin înălțime. Avem:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Aici tocmai am înlocuit formula apotema corespunzătoare în expresia pentru S_{b. Să pătram ambele părți ale ecuației:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Pentru a găsi valoarea lui a, să facem o schimbare a variabilelor:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Inlocuim acum valorile cunoscute si rezolvam ecuatia patratica:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Am scris doar rădăcina pozitivă a acestei ecuații. Atunci laturile bazei piramidei vor fi:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Pentru a obține lungimea apotemului,doar folosește formula:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 vezi}

Suprafața laterală a piramidei lui Keops

Determinați valoarea suprafeței laterale pentru cea mai mare piramidă egipteană. Se știe că la baza sa se află un pătrat cu lungimea laturii de 230,363 metri. Înălțimea structurii a fost inițial de 146,5 metri. Înlocuiți aceste numere în formula corespunzătoare pentru S_{b, obținem:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Valoarea găsită este puțin mai mare decât suprafața a 17 terenuri de fotbal.