Calculul volumelor de figuri spațiale este una dintre sarcinile importante ale stereometriei. În acest articol, vom lua în considerare problema determinării volumului unui astfel de poliedru ca o piramidă și, de asemenea, vom da formula pentru volumul unei piramide hexagonale obișnuite.
piramidă hexagonală
În primul rând, să vedem care este cifra, care va fi discutată în articol.
Să avem un hexagon arbitrar ale cărui laturi nu sunt neapărat egale între ele. De asemenea, să presupunem că am ales un punct din spațiu care nu se află în planul hexagonului. Conectând toate colțurile acestuia din urmă cu punctul selectat, obținem o piramidă. Două piramide diferite cu o bază hexagonală sunt prezentate în figura de mai jos.
Se poate observa că, pe lângă hexagon, figura este formată din șase triunghiuri, al căror punct de legătură se numește vârf. Diferența dintre piramidele reprezentate este că înălțimea h din dreapta acestora nu intersectează baza hexagonală în centrul său geometric, iar înălțimea figurii din stânga scadechiar în acel centru. Datorită acestui criteriu, piramida stângă a fost numită dreaptă, iar cea dreaptă - oblică.
Deoarece baza figurii din stânga din figură este formată dintr-un hexagon cu laturi și unghiuri egale, se numește corectă. În continuare, în articol vom vorbi doar despre această piramidă.
Volumul piramidei hexagonale
Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, este valabilă următoarea formulă:
V=1/3hSo
Aici h este lungimea înălțimii figurii, So este aria bazei acesteia. Să folosim această expresie pentru a determina volumul unei piramide hexagonale obișnuite.
Deoarece cifra luată în considerare se bazează pe un hexagon echilateral, pentru a-și calcula aria, puteți folosi următoarea expresie generală pentru un n-gon:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Aici n este un număr întreg egal cu numărul de laturi (colțuri) poligonului, a este lungimea laturii acestuia, funcția cotangentă este calculată folosind tabelele corespunzătoare.
Aplicând expresia pentru n=6, obținem:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Acum rămâne să înlocuim această expresie în formula generală pentru volumul V:
V6=S6h=√3/2ha2
Astfel, pentru a calcula volumul piramidei luate în considerare, este necesar să se cunoască cei doi parametri liniari ai acesteia: lungimea laturii bazei și înălțimea figurii.
Exemplu de rezolvare a problemelor
Să arătăm cum expresia obținută pentru V6 poate fi folosită pentru a rezolva următoarea problemă.
Se știe că volumul unei piramide hexagonale obișnuite este de 100 cm3. Este necesar să se determine latura bazei și înălțimea figurii, dacă se știe că sunt legate între ele prin următoarea egalitate:
a=2h
Deoarece numai a și h sunt incluse în formula pentru volum, oricare dintre acești parametri poate fi înlocuit în ea, exprimat în termenii celuil alt. De exemplu, înlocuind a, obținem:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Pentru a afla valoarea înălțimii unei figuri, trebuie să luați rădăcina gradului al treilea din volum, care corespunde dimensiunii lungimii. Înlocuim valoarea de volum V6 a piramidei din enunțul problemei, obținem înălțimea:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Deoarece partea bazei, în conformitate cu starea problemei, este de două ori mai mare decât valoarea găsită, obținem valoarea acesteia:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
Volumul unei piramide hexagonale poate fi găsit nu numai prin înălțimea figurii și prin valoarea laturii bazei acesteia. Este suficient să cunoașteți doi parametri liniari diferiți ai piramidei pentru a o calcula, de exemplu, apotema și lungimea marginii laterale.
