Abilitatea de a determina volumul figurilor spațiale este importantă pentru rezolvarea problemelor geometrice și practice. Una dintre aceste figuri este o prismă. Vom lua în considerare în articol despre ce este vorba și vom arăta cum să calculăm volumul unei prisme înclinate.
Ce se înțelege prin prismă în geometrie?
Acesta este un poliedru obișnuit (poliedru), care este format din două baze identice situate în plane paralele și mai multe paralelograme care leagă bazele marcate.
Bazele prismelor pot fi poligoane arbitrare, cum ar fi triunghi, patrulater, heptagon și așa mai departe. În plus, numărul de colțuri (laturi) poligonului determină numele figurii.
Orice prismă cu o bază n-gon (n este numărul de laturi) constă din n+2 fețe, 2 × n vârfuri și 3 × n muchii. Din numerele date se poate observa că numărul de elemente ale prismei corespunde teoremei lui Euler:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Imaginea de mai jos arată cum arată prismele triunghiulare și patrulatere din sticlă.
Tipuri de figuri. Prismă înclinată
S-a spus deja mai sus că numele unei prisme este determinat de numărul de laturi ale poligonului de la bază. Cu toate acestea, există și alte caracteristici în structura sa care determină proprietățile figurii. Deci, dacă toate paralelogramele care formează suprafața laterală a prismei sunt reprezentate prin dreptunghiuri sau pătrate, atunci o astfel de figură se numește linie dreaptă. Pentru o prismă dreaptă, distanța dintre baze este egală cu lungimea marginii laterale a oricărui dreptunghi.
Dacă unele sau toate laturile sunt paralelograme, atunci vorbim despre o prismă înclinată. Înălțimea sa va fi deja mai mică decât lungimea nervurii laterale.
Un alt criteriu după care se clasifică figurile luate în considerare este lungimile laturilor și unghiurile poligonului de la bază. Dacă sunt egale între ele, atunci poligonul va fi corect. O figură dreaptă cu un poligon regulat la baze se numește regulată. Este convenabil să lucrați cu el atunci când determinați suprafața și volumul. O prismă înclinată în acest sens prezintă unele dificultăți.
Figura de mai jos arată două prisme cu bază pătrată. Unghiul de 90° arată diferența fundamentală dintre o prismă dreaptă și una oblică.
Formulă pentru determinarea volumului unei figuri
Partea din spațiu delimitată de fețele unei prisme se numește volumul acesteia. Pentru cifrele considerate de orice tip, această valoare poate fi determinată prin următoarea formulă:
V=h × So
Aici, simbolul h indică înălțimea prismei,care este o măsură a distanței dintre două baze. Simbol So- un pătrat de bază.
Zona de bază este ușor de găsit. Având în vedere faptul că poligonul este regulat sau nu și știind numărul laturilor sale, ar trebui să aplicați formula corespunzătoare și să obțineți So. De exemplu, pentru un n-gon obișnuit cu lungimea laturii a, aria va fi:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Acum să trecem la înălțimea h. Pentru o prismă dreaptă, determinarea înălțimii nu este dificilă, dar pentru o prismă oblică, aceasta nu este o sarcină ușoară. Poate fi rezolvată prin diverse metode geometrice, pornind de la condiții inițiale specifice. Cu toate acestea, există o modalitate universală de a determina înălțimea unei figuri. Să o descriem pe scurt.
Ideea este să găsești distanța de la un punct din spațiu la un plan. Să presupunem că planul este dat de ecuația:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Atunci avionul va fi la o distanță:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Dacă axele de coordonate sunt aranjate astfel încât punctul (0; 0; 0) să se afle în planul bazei inferioare a prismei, atunci ecuația pentru planul bazei poate fi scrisă după cum urmează:
z=0
Aceasta înseamnă că se va scrie formula pentru înălțimedeci:
h=z1
Este suficient să găsiți coordonatele z a oricărui punct al bazei superioare pentru a determina înălțimea figurii.
Exemplu de rezolvare a problemelor
Figura de mai jos arată o prismă patruunghiulară. Baza unei prisme înclinate este un pătrat cu latura de 10 cm. Este necesar să se calculeze volumul acestuia dacă se știe că lungimea marginii laterale este de 15 cm, iar unghiul ascuțit al paralelogramului frontal este de 70 °.
Deoarece înălțimea h a figurii este și înălțimea paralelogramului, folosim formule pentru a determina aria sa pentru a găsi h. Să notăm laturile paralelogramului după cum urmează:
a=10 cm;
b=15 cm
Apoi puteți scrie următoarele formule pentru a determina aria Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
De unde obținem:
h=b × sin (α)
Aici α este un unghi ascuțit al paralelogramului. Deoarece baza este un pătrat, formula pentru volumul unei prisme înclinate va lua forma:
V=a2 × b × sin (α)
Inlocuim datele din conditie in formula si obtinem raspunsul: V ≈ 1410 cm3.
