Când studiezi absolut orice figură spațială, este important să știi cum să-i calculezi volumul. Acest articol oferă o formulă pentru volumul unei piramide patruunghiulare obișnuite și, de asemenea, arată cum ar trebui utilizată această formulă folosind un exemplu de rezolvare a problemelor.
Despre ce piramidă vorbim?
Orice elev de liceu știe că o piramidă este un poliedru format din triunghiuri și un poligon. Acesta din urmă este baza figurii. Triunghiurile au o latură comună cu baza și se intersectează într-un singur punct, care este vârful piramidei.
Fiecare piramidă se caracterizează prin lungimea laturilor bazei, lungimea marginilor laterale și înălțimea. Acesta din urmă este un segment perpendicular, coborât până la bază din partea de sus a figurii.
O piramidă patruunghiulară obișnuită este o figură cu o bază pătrată, a cărei înălțime intersectează acest pătrat în centrul său. Poate cel mai faimos exemplu al acestui tip de piramide sunt structurile egiptene antice de piatră. Mai jos este o fotografiepiramidele lui Keops.
Figura studiată are cinci fețe, dintre care patru sunt triunghiuri isoscele identice. De asemenea, se caracterizează prin cinci vârfuri, dintre care patru aparțin bazei și opt muchii (4 muchii ale bazei și 4 muchii ale fețelor laterale).
Formula pentru volumul unei piramide patruunghiulare este corectă
Volumul figurii în cauză este o parte a spațiului care este limitat de cinci laturi. Pentru a calcula acest volum, folosim următoarea dependență a ariei unei felii paralele cu baza piramidei Sz de coordonata verticală z:
Sz=So (h - z/h)2
Aici So este aria bazei pătrate. Dacă înlocuim z=h în expresia scrisă, atunci vom obține o valoare zero pentru Sz. Această valoare a lui z corespunde unei felii care va conține doar vârful piramidei. Dacă z=0, atunci obținem valoarea ariei de bază So.
Este ușor de găsit volumul unei piramide dacă cunoașteți funcția Sz(z), pentru aceasta este suficient să tăiați figura într-un număr infinit de straturi paralele cu baza, apoi efectuați operația de integrare. Urmează această tehnică, obținem:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Deoarece S0 estearia bazei pătrate, apoi, notând latura pătratului cu litera a, obținem formula pentru volumul unei piramide patruunghiulare obișnuite:
V=1/3a2h.
Acum, să folosim exemple de rezolvare a problemelor pentru a arăta cum ar trebui aplicată această expresie.
Problema determinării volumului unei piramide prin apotema și marginea ei laterală
Apotema unei piramide este înălțimea triunghiului ei lateral, care este coborât în lateralul bazei. Deoarece toate triunghiurile sunt egale într-o piramidă obișnuită, apotemele lor vor fi, de asemenea, aceleași. Să notăm lungimea sa cu simbolul hb. Notați marginea laterală ca b.
Știind că apotema piramidei este de 12 cm, iar marginea ei laterală este de 15 cm, găsiți volumul unei piramide patrulatere obișnuite.
Formula pentru volumul figurii scrisă în paragraful anterior conține doi parametri: lungimea laturii a și înălțimea h. Momentan, nu le cunoaștem pe niciuna, așa că haideți să aruncăm o privire la calculele lor.
Lungimea laturii unui pătrat a este ușor de calculat dacă folosiți teorema lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic, în care ipotenuza este muchia b, iar catetele sunt apotema h b și jumătate din latura bazei a/2. Primim:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Înlocuind valorile cunoscute din condiție, obținem valoarea a=18 cm.
Pentru a calcula înălțimea h a piramidei, puteți face două lucruri: luați în considerare un dreptunghiularun triunghi cu o margine ipotenuză-laterală sau cu o ipotenuză-apotem. Ambele metode sunt egale și presupun efectuarea aceluiași număr de operații matematice. Să ne oprim asupra unui triunghi, unde ipotenuza este apotema hb. Picioarele din el vor fi h și a / 2. Apoi obținem:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7.937 cm.
Acum puteți folosi formula pentru volumul V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Astfel, volumul unei piramide patrulatere obișnuite este de aproximativ 0,86 litri.
Volumul piramidei lui Keops
Acum să rezolvăm o problemă interesantă și practic importantă: găsiți volumul celei mai mari piramide din Giza. Din literatură se știe că înălțimea inițială a clădirii era de 146,5 metri, iar lungimea bazei sale este de 230,363 metri. Aceste numere ne permit să aplicăm formula pentru a calcula V. Obținem:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Valoarea rezultată este de aproape 2,6 milioane m3. Acest volum corespunde volumului unui cub a cărui latură este de 137,4 metri.
