În geometrie, pentru studiul figurilor se folosesc două caracteristici importante: lungimile laturilor și unghiurile dintre ele. În cazul figurilor spațiale, la aceste caracteristici se adaugă unghiuri diedrice. Să luăm în considerare ce este și să descriem, de asemenea, metoda de determinare a acestor unghiuri folosind exemplul unei piramide.
Conceptul de unghi diedric
Toată lumea știe că două drepte care se intersectează formează un unghi cu vârful în punctul de intersecție. Acest unghi poate fi măsurat cu un raportor sau puteți utiliza funcții trigonometrice pentru a-l calcula. Unghiul format din două unghiuri drepte se numește liniar.
Acum imaginați-vă că în spațiul tridimensional există două planuri care se intersectează într-o linie dreaptă. Ele sunt afișate în imagine.
Un unghi diedru este unghiul dintre două plane care se intersectează. La fel ca și liniar, se măsoară în grade sau radiani. Dacă în orice punct al dreptei de-a lungul căruia planele se intersectează, restabiliți două perpendiculare,aflate în aceste planuri, atunci unghiul dintre ele va fi diedrul dorit. Cel mai simplu mod de a determina acest unghi este să utilizați ecuațiile generale ale planelor.
Ecuația planelor și formula pentru unghiul dintre ele
Ecuația oricărui plan din spațiu în termeni generali se scrie după cum urmează:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Aici x, y, z sunt coordonatele punctelor aparținând planului, coeficienții A, B, C, D sunt câteva numere cunoscute. Comoditatea acestei egalități pentru calcularea unghiurilor diedrice este că conține în mod explicit coordonatele vectorului de direcție al planului. O vom nota prin n¯. Apoi:
n¯=(A; B; C).
Vectorul n¯ este perpendicular pe plan. Unghiul dintre două plane este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție n1¯ și n2¯. Din matematică se știe că unghiul format din doi vectori este determinat în mod unic din produsul lor scalar. Acest lucru vă permite să scrieți o formulă pentru calcularea unghiului diedric dintre două plane:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Dacă înlocuim coordonatele vectorilor, formula va fi scrisă explicit:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Semnul modulo din numărător este folosit pentru a defini doar un unghi ascuțit, deoarece un unghi diedru este întotdeauna mai mic sau egal cu 90o.
Piramida și colțurile ei
Pyramid este o figură formată dintr-un n-gon și n triunghiuri. Aici n este un număr întreg egal cu numărul de laturi ale poligonului care este baza piramidei. Această figură spațială este un poliedru sau poliedru, deoarece este alcătuită din fețe plate (laturi).
Unghiurile diedrice ale unei piramide-poliedru pot fi de două tipuri:
- între bază și lateral (triunghi);
- între două părți.
Dacă piramida este considerată obișnuită, atunci este ușor să determinați unghiurile numite pentru ea. Pentru a face acest lucru, folosind coordonatele a trei puncte cunoscute, ar trebui să compuneți o ecuație de plane și apoi să folosiți formula dată în paragraful de mai sus pentru unghiul φ.
Mai jos dăm un exemplu în care arătăm cum să găsim unghiuri diedrice la baza unei piramide regulate pătraunghiulare.
O piramidă regulată patruunghiulară și un unghi la baza ei
Să presupunem că este dată o piramidă obișnuită cu o bază pătrată. Lungimea laturii pătratului este a, înălțimea figurii este h. Găsiți unghiul dintre baza piramidei și latura acesteia.
Să plasăm originea sistemului de coordonate în centrul pătratului. Apoi coordonatele punctelorA, B, C, D prezentate în imagine vor fi:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Luați în considerare avioanele ACB și ADB. Evident, vectorul de direcție n1¯ pentru avionul ACB va fi:
1¯=(0; 0; 1).
Pentru a determina vectorul de direcție n2¯ al planului ADB, procedați după cum urmează: găsiți doi vectori arbitrari care îi aparțin, de exemplu, AD¯ și AB¯, apoi calculați munca lor vectorială. Rezultatul acestuia va oferi coordonatele n2¯. Avem:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Deoarece înmulțirea și împărțirea unui vector cu un număr nu își schimbă direcția, transformăm n2¯, împărțind coordonatele sale la -a, obținem:
2¯=(h; 0; a/2).
Am definit ghiduri vectoriale n1¯ și n2¯ pentru baza ACB și planurile laterale ADB. Rămâne să folosiți formula pentru unghiul φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a) 2/4)).
Transformați expresia rezultată și rescrieți-o astfel:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Am obținut formula pentru unghiul diedric de la bază pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită. Cunoscând înălțimea figurii și lungimea laturii acesteia, puteți calcula unghiul φ. De exemplu, pentru piramida lui Keops, a cărei latură de bază este de 230,4 metri și înălțimea inițială a fost de 146,5 metri, unghiul φ va fi 51,8o.
Este, de asemenea, posibil să se determine unghiul diedric pentru o piramidă regulată patruunghiulară folosind metoda geometrică. Pentru a face acest lucru, este suficient să luăm în considerare un triunghi dreptunghic format din înălțimea h, jumătate din lungimea bazei a/2 și apotema unui triunghi isoscel.
