Prisma este un poliedru sau poliedru, care este studiat în cursul școlar de geometrie solidă. Una dintre proprietățile importante ale acestui poliedru este volumul său. Să luăm în considerare în articol modul în care această valoare poate fi calculată și, de asemenea, să dăm formulele pentru volumul prismelor - pătrangulare obișnuite și hexagonale.
Prismă în stereometrie
Această figură este înțeleasă ca un poliedru, care constă din două poligoane identice situate în planuri paralele și din mai multe paralelograme. Pentru anumite tipuri de prisme, paralelogramele pot reprezenta patrulatere dreptunghiulare sau pătrate. Mai jos este un exemplu de așa-numită prismă pentagonală.
Pentru a construi o figură ca în figura de mai sus, trebuie să luați un pentagon și să efectuați transferul său paralel la o anumită distanță în spațiu. Conectând laturile a două pentagoane folosind paralelograme, obținem prisma dorită.
Fiecare prismă este formată din fețe, vârfuri și muchii. Vârfurile prismeispre deosebire de piramidă, sunt egale, fiecare dintre ele se referă la una dintre cele două baze. Fețele și marginile sunt de două tipuri: cele care aparțin bazelor și cele care aparțin laturilor.
Prismele sunt de mai multe tipuri (corecte, oblice, convexe, drepte, concave). Să luăm în considerare mai târziu în articol prin ce formulă se calculează volumul unei prisme, ținând cont de forma figurii.
Expresie generală pentru determinarea volumului unei prisme
Indiferent de tipul căruia îi aparține figura studiată, fie că este dreaptă sau oblică, regulată sau neregulată, există o expresie universală care vă permite să-i determinați volumul. Volumul unei figuri spațiale este aria spațiului care este închisă între fețele sale. Formula generală pentru volumul unei prisme este:
V=So × h.
Aici So reprezintă aria bazei. Trebuie amintit că vorbim despre o bază, și nu despre două. Valoarea h este înălțimea. Înălțimea figurii studiate este înțeleasă ca distanța dintre bazele sale identice. Dacă această distanță coincide cu lungimile nervurilor laterale, atunci se vorbește despre o prismă dreaptă. Într-o figură dreaptă, toate laturile sunt dreptunghiuri.
Astfel, dacă o prismă este oblică și are un poligon de bază neregulat, atunci calcularea volumului acesteia devine mai complicată. Dacă cifra este dreaptă, atunci calculul volumului se reduce doar la determinarea ariei bazei So.
Determinarea volumului unei figuri obișnuite
Regular este orice prismă care este dreaptă și are o bază poligonală cu laturile și unghiurile egale între ele. De exemplu, astfel de poligoane regulate sunt un pătrat și un triunghi echilateral. În același timp, un romb nu este o figură obișnuită, deoarece nu toate unghiurile sale sunt egale.
Formula pentru volumul unei prisme regulate decurge fără ambiguitate din expresia generală pentru V, care a fost scrisă în paragraful anterior al articolului. Înainte de a continua să scrieți formula corespunzătoare, este necesar să determinați aria bazei corecte. Fără a intra în detalii matematice, vă prezentăm formula de determinare a ariei indicate. Este universal pentru orice n-gon obișnuit și are următoarea formă:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
După cum puteți vedea din expresie, zona Sn este o funcție a doi parametri. Un număr întreg n poate lua valori de la 3 la infinit. Valoarea a este lungimea laturii n-gonului.
Pentru a calcula volumul unei figuri, este necesar doar să înmulțiți aria S cu înălțimea h sau cu lungimea muchiei laterale b (h=b). Ca rezultat, ajungem la următoarea formulă de lucru:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Rețineți că pentru a determina volumul unei prisme de tip arbitrar, trebuie să cunoașteți mai multe mărimi (lungimile laturilor bazei, înălțimea, unghiurile diedrice ale figurii), dar să calculați valoarea V a o prismă obișnuită, trebuie să cunoaștem doar doi parametri liniari, de exemplu, a și h.
Volumul unei prisme regulate pătraunghiulare
O prismă patruunghiulară se numește paralelipiped. Dacă toate fețele sale sunt egale și sunt pătrate, atunci o astfel de figură va fi un cub. Fiecare elev știe că volumul unui paralelipiped dreptunghiular sau al unui cub se determină prin înmulțirea celor trei laturi diferite (lungime, înălțime și lățime). Acest fapt rezultă din expresia scrisă a volumului general pentru o figură obișnuită:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Aici cotangenta de 45° este egală cu 1. Rețineți că egalitatea înălțimii h și a lungimii laturii bazei a conduce automat la formula pentru volumul unui cub.
Volumul prismei regulate hexagonale
Acum aplicați teoria de mai sus pentru a determina volumul unei figuri cu o bază hexagonală. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să înlocuiți valoarea n=6 în formula:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Expresia scrisă poate fi obținută independent fără a utiliza formula universală pentru S. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți hexagonul obișnuit în șase triunghiuri echilaterale. Latura fiecăruia dintre ele va fi egală cu a. Aria unui triunghi corespunde cu:
S3=√3/4 × a2.
Înmulțind această valoare cu numărul de triunghiuri (6) și cu înălțimea, obținem formula de mai sus pentru volum.
