Arafa suprafeței unei prisme drepte: formule și un exemplu de problemă

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Volumul și suprafața sunt două caracteristici importante ale oricărui corp care are dimensiuni finite în spațiul tridimensional. În acest articol, luăm în considerare o clasă binecunoscută de poliedre - prisme. În special, întrebarea cum să găsiți suprafața unei prisme drepte va fi dezvăluită.

Ce este o prismă?

O prismă este orice poliedru care este delimitat de mai multe paralelograme și două poligoane identice situate în planuri paralele. Aceste poligoane sunt considerate bazele figurii, iar paralelogramele sale sunt laturile. Numărul de laturi (colțuri) bazei determină numele figurii. De exemplu, figura de mai jos arată o prismă pentagonală.

Distanța dintre baze se numește înălțimea figurii. Dacă înălțimea este egală cu lungimea oricărei margini laterale, atunci o astfel de prismă va fi dreaptă. A doua caracteristică suficientă pentru o prismă dreaptă este că toate laturile sale sunt dreptunghiuri sau pătrate. Dacă, totușiDacă o parte este un paralelogram general, atunci figura va fi înclinată. Mai jos puteți vedea cum diferă vizual prismele drepte și oblice pe exemplul figurilor patrulatere.

Aria suprafeței unei prisme drepte

Dacă o figură geometrică are o bază n-gonală, atunci este formată din n+2 fețe, dintre care n dreptunghiuri. Să notăm lungimile laturilor bazei ca a_i, unde i=1, 2, …, n și notăm înălțimea figurii, care este egală cu lungimea marginea laterală, ca h. Pentru a determina aria (S) a suprafeței tuturor fețelor, adăugați aria S_{o a fiecărei baze și toate zonele laturilor (dreptunghiuri). Astfel, formula pentru S în formă generală poate fi scrisă după cum urmează:}

S=2S_o+ S_b

Unde S_{b este aria suprafeței laterale.}

Deoarece baza unei prisme drepte poate fi absolut orice poligon plat, atunci o singură formulă pentru calcularea S_{onu poate fi dată și pentru a determina această valoare, în general caz, ar trebui efectuată o analiză geometrică. De exemplu, dacă baza este un n-gon regulat cu latura a, atunci aria sa este calculată prin formula:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

În ceea ce privește valoarea lui S_{b, poate fi dată expresia pentru calculul acesteia. Suprafața laterală a unei prisme drepte este:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Adică valoareaS_{b se calculează ca produsul dintre înălțimea figurii și perimetrul bazei acesteia.}

Exemplu de rezolvare a problemelor

Să aplicăm cunoștințele dobândite pentru a rezolva următoarea problemă geometrică. Având în vedere o prismă, a cărei bază este un triunghi dreptunghic cu laturile în unghi drept de 5 cm și 7 cm. Înălțimea figurii este de 10 cm. Este necesar să găsiți suprafața unei prisme triunghiulare dreptunghiulare.

În primul rând, să calculăm ipotenuza triunghiului. Va fi egal cu:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Acum să mai facem o operație matematică pregătitoare - calculați perimetrul bazei. Va fi:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Aria suprafeței laterale a figurii se calculează ca produsul dintre valoarea P și înălțimea h=10 cm, adică S_b=206 cm ^2.

Pentru a găsi suprafața întregii suprafețe, la valoarea găsită trebuie adăugate două zone de bază. Deoarece aria unui triunghi dreptunghic este determinată de jumătate din produsul catetelor, obținem:

2S_o=257/2=35 cm²

Atunci obținem că aria suprafeței unei prisme triunghiulare drepte este 35 + 206=241 cm2.