Conceptul de prismă. Formule de volum pentru prisme de diferite tipuri: regulate, drepte și oblice. Rezolvarea problemei

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 05:39

Volumul este o caracteristică a oricărei figuri care are dimensiuni diferite de zero în toate cele trei dimensiuni ale spațiului. În acest articol, din punctul de vedere al stereometriei (geometria figurilor spațiale), vom lua în considerare o prismă și vom arăta cum să găsim volumele prismelor de diferite tipuri.

Ce este o prismă?

Stereometria are răspunsul exact la această întrebare. O prismă în ea este înțeleasă ca o figură formată din două fețe poligonale identice și mai multe paralelograme. Imaginea de mai jos arată patru prisme diferite.

Fiecare dintre ele poate fi obținută astfel: trebuie să luați un poligon (triunghi, patrulater și așa mai departe) și un segment de o anumită lungime. Apoi fiecare vârf al poligonului ar trebui să fie transferat folosind segmente paralele într-un alt plan. În noul plan, care va fi paralel cu cel inițial, se va obține un nou poligon, similar celui ales inițial.

Prismele pot fi de diferite tipuri. Deci, ele pot fi drepte, oblice și corecte. Dacă marginea laterală a prismei (segment,care leagă vârfurile bazelor) perpendicular pe bazele figurii, atunci aceasta din urmă este o linie dreaptă. În consecință, dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci vorbim despre o prismă înclinată. O figură obișnuită este o prismă dreaptă cu o bază echiunghiulară și echilaterală.

Mai târziu în articol vom arăta cum să calculăm volumul fiecăruia dintre aceste tipuri de prisme.

Volum prisme obișnuite

Să începem cu cel mai simplu caz. Dăm formula pentru volumul unei prisme regulate cu o bază n-gonală. Formula de volum V pentru orice figură a clasei luate în considerare este următoarea:

V=S_oh.

Adică, pentru a determina volumul, este suficient să calculați aria uneia dintre bazele S_o și să o înmulțiți cu înălțimea h a cifrei.

În cazul unei prisme regulate, să notăm lungimea laturii bazei acesteia cu litera a, iar înălțimea, care este egală cu lungimea marginii laterale, cu litera h. Dacă baza n-gonului este corectă, atunci cel mai simplu mod de a-i calcula aria este să utilizați următoarea formulă universală:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Înlocuind valoarea numărului de laturi n și lungimea unei laturi a în egalitate, puteți calcula aria bazei n-gonale. Rețineți că funcția cotangentă aici este calculată pentru unghiul pi/n, care este exprimat în radiani.

Avand in vedere egalitatea scrisa pentru S, obtinem formula finala pentru volumul unei prisme regulate:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Pentru fiecare caz specific, puteți scrie formulele corespunzătoare pentru V, dar toaterezultă în mod unic din expresia generală scrisă. De exemplu, pentru o prismă patruunghiulară obișnuită, care în cazul general este un paralelipiped dreptunghiular, obținem:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Dacă luăm h=a în această expresie, atunci obținem formula pentru volumul cubului.

Volum prisme directe

Remarcăm imediat că pentru cifrele drepte nu există o formulă generală pentru calcularea volumului, care a fost dată mai sus pentru prismele obișnuite. Când găsiți valoarea în cauză, trebuie folosită expresia originală:

V=S_oh.

Aici h este lungimea marginii laterale, ca în cazul precedent. În ceea ce privește zona de bază S_o, aceasta poate lua o varietate de valori. Sarcina de a calcula o prismă dreaptă de volum se reduce la găsirea ariei bazei sale.

Calculul valorii lui S_oar trebui efectuat pe baza caracteristicilor bazei în sine. De exemplu, dacă este un triunghi, atunci aria poate fi calculată astfel:

S_o3=1/2ah_a.

Aici h_a este apotema triunghiului, adică înălțimea lui coborâtă la baza a.

Dacă baza este un patrulater, atunci poate fi un trapez, un paralelogram, un dreptunghi sau un tip complet arbitrar. Pentru toate aceste cazuri, ar trebui să utilizați formula de planimetrie adecvată pentru a determina zona. De exemplu, pentru un trapez, această formulă arată astfel:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Unde h_a este înălțimea trapezului, a₁ și a₂ sunt lungimile a laturilor sale paralele.

Pentru a determina aria pentru poligoane de ordin superior, ar trebui să le împărțiți în forme simple (triunghiuri, patrulatere) și să calculați suma ariilor acestora din urmă.

Volum prismei înclinate

Acesta este cel mai dificil caz de calcul al volumului unei prisme. Se aplică și formula generală pentru astfel de cifre:

V=S_oh.

Totuși, la complexitatea găsirii ariei bazei reprezentând un tip arbitrar de poligon, se adaugă problema determinării înălțimii figurii. Este întotdeauna mai mică decât lungimea marginii laterale într-o prismă înclinată.

Cea mai ușoară modalitate de a găsi această înălțime este dacă cunoașteți orice unghi al figurii (plat sau diedru). Dacă este dat un astfel de unghi, atunci ar trebui să îl folosiți pentru a construi un triunghi dreptunghic în interiorul prismei, care ar conține înălțimea h ca una dintre laturi și, folosind funcții trigonometrice și teorema lui Pitagora, să găsiți valoarea h.

Problemă cu volumul geometric

Avand in vedere o prisma regulata cu baza triunghiulara, avand in altimea de 14 cm si lungimea laturii de 5 cm. Care este volumul prismei triunghiulare?

Deoarece vorbim despre cifra corectă, avem dreptul să folosim formula binecunoscută. Avem:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

O prismă triunghiulară este o figură destul de simetrică, sub forma căreia sunt adesea realizate diferite structuri arhitecturale. Această prismă de sticlă este folosită în optică.