Formulă pentru determinarea volumului unui con. Exemplu de rezolvare a problemei

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 05:39

Fiecare elev în studiul stereometriei în liceu a dat peste un con. Două caracteristici importante ale acestei figuri spațiale sunt suprafața și volumul. În acest articol, vom arăta cum să găsiți volumul unui con rotund.

Con rotund ca o figură de rotație a unui triunghi dreptunghic

Înainte de a trece direct la subiectul articolului, este necesar să descrii conul din punct de vedere geometric.

Să fie un triunghi dreptunghic. Dacă îl rotiți în jurul oricăruia dintre picioare, atunci rezultatul acestei acțiuni va fi cifra dorită, prezentată în figura de mai jos.

Aici, piciorul AB face parte din axa conului, iar lungimea acestuia corespunde înălțimii figurii. Al doilea picior (segmentul CA) va fi raza conului. În timpul rotației, va descrie un cerc care delimitează baza figurii. Ipotenuza BC se numește generatria figurii sau generatria acesteia. Punctul B este singurul vârf al conului.

Având în vedere proprietățile triunghiului ABC, putem scrie relația dintre generatoarea g, raza r și înălțimea h după cum urmeazăegalitate:

g²=h²+ r²

Această formulă este utilă în rezolvarea multor probleme geometrice cu figura în cauză.

Formula volumului conului

Volumul oricărei figuri spațiale este aria spațiului, care este limitată de suprafețele acestei figuri. Există două astfel de suprafețe pentru un con:

1. Lateral sau conic. Este format din toate generatricele.
2. Fundație. În acest caz, este un cerc.

Obțineți formula pentru determinarea volumului unui con. Pentru a face acest lucru, îl tăiem mental în mai multe straturi paralele cu baza. Fiecare dintre straturi are o grosime dx, care tinde spre zero. Aria S_x a stratului la o distanță x de partea de sus a figurii este egală cu următoarea expresie:

S_x=pir²x²/h ²

Valabilitatea acestei expresii poate fi verificată intuitiv prin înlocuirea valorilor x=0 și x=h. În primul caz, vom obține o zonă egală cu zero, în al doilea caz, aceasta va fi egală cu aria bazei rotunde.

Pentru a determina volumul conului, trebuie să adunați mici „volume” ale fiecărui strat, adică ar trebui să utilizați calculul integral:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Calculând această integrală, ajungem la formula finală pentru un con rotund:

V=1/3pir²h

Este interesant de observat că această formulă este complet similară cu cea folosită pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare. Această coincidență nu este întâmplătoare, deoarece orice piramidă devine con atunci când numărul muchiilor sale crește la infinit.

Problemă de calcul al volumului

Este util să oferim un exemplu de rezolvare a problemei, care va demonstra utilizarea formulei derivate pentru volumul V.

Dând un con rotund a cărui suprafață de bază este de 37 cm², iar generatorul figurii este de trei ori mai mare decât raza. Care este volumul conului?

Avem dreptul de a folosi formula de volum dacă cunoaștem două mărimi: înălțimea h și raza r. Să găsim formulele care le determină în conformitate cu starea problemei.

Raza r poate fi calculată cunoscând aria cercului S_o, avem:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Folosind condiția problemei, scriem egalitatea pentru generatorul g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Cunoscând formulele pentru r și g, calculați înălțimea h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Am găsit toți parametrii necesari. Acum este timpul să le conectați la formula pentru V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Rămâne de înlocuitzona de bază S_o și calculați valoarea volumului: V=119,75 cm³.