În algebră există un concept de două tipuri de egalități - identități și ecuații. Identitățile sunt astfel de egalități care sunt fezabile pentru orice valoare a literelor incluse în ele. Ecuațiile sunt, de asemenea, egalități, dar sunt fezabile doar pentru anumite valori ale literelor incluse în ele.
Literele sunt de obicei inegale în ceea ce privește sarcina. Aceasta înseamnă că unele dintre ele pot prelua orice valori permise, numite coeficienți (sau parametri), în timp ce altele - se numesc necunoscute - preiau valori care trebuie găsite în procesul de soluție. De regulă, mărimile necunoscute sunt notate în ecuații prin litere, ultimele în alfabetul latin (x.y.z, etc.), sau cu aceleași litere, dar cu un indice (x1, x 2 etc.), iar coeficienții cunoscuți sunt dați de primele litere ale aceluiași alfabet.
Pe baza numărului de necunoscute, se disting ecuațiile cu una, două și mai multe necunoscute. Astfel, toate valorile necunoscutelor pentru care ecuația în curs de rezolvare se transformă într-o identitate se numesc soluții ale ecuațiilor. O ecuație poate fi considerată rezolvată dacă se găsesc toate soluțiile ei sau se demonstrează că nu are niciuna. Sarcina „rezolvarea ecuației” în practică este comună și înseamnă că trebuie să găsiți rădăcina ecuației.
Definiție: rădăcinile unei ecuații sunt acele valori ale necunoscutelor din intervalul de valori admisibile la care ecuația care se rezolvă devine o identitate.
Algoritmul pentru rezolvarea absolută a tuturor ecuațiilor este același, iar sensul său este de a reduce această expresie la o formă mai simplă folosind transformări matematice. Ecuațiile care au aceleași rădăcini sunt numite echivalente în algebră.
Cel mai simplu exemplu: 7x-49=0, rădăcina ecuației x=7;x-7=0, în mod similar, rădăcina x=7, prin urmare, ecuațiile sunt echivalente. (În cazuri speciale, este posibil ca ecuațiile echivalente să nu aibă deloc rădăcini.)
Dacă rădăcina unei ecuații este și rădăcina unei alte ecuații, mai simple, obținute din cea inițială prin transformări, atunci aceasta din urmă se numește o consecință a ecuației anterioare.
Dacă una dintre cele două ecuații este o consecință a celeil alte, atunci ele sunt considerate echivalente. Se mai numesc și echivalente. Exemplul de mai sus ilustrează acest lucru.
Rezolvarea chiar și a celor mai simple ecuații în practică este adesea dificilă. Ca rezultat al soluției, puteți obține o rădăcină a ecuației, două sau mai multe, chiar și un număr infinit - depinde de tipul de ecuații. Există și cele care nu au rădăcini, se numesc indecidabile.
Exemple:
1) 15x -20=10; x=2. Aceasta este singura rădăcină a ecuației.
2) 7x - y=0. Ecuația are un număr infinit de rădăcini, deoarece fiecare variabilă poate avea nenumăratenumăr de valori.
3) x2=- 16. Un număr ridicat la a doua putere dă întotdeauna un rezultat pozitiv, deci este imposibil de găsit rădăcina ecuației. Aceasta este una dintre ecuațiile de nerezolvat menționate mai sus.
Corectitudinea soluției este verificată prin înlocuirea rădăcinilor găsite în loc de litere și rezolvând exemplul rezultat. Dacă identitatea este menținută, soluția este corectă.
