Ce este o prismă dreaptă? Proprietăți și formule. Exemplu de sarcină

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 05:39

Stereometria este studiul caracteristicilor formelor geometrice tridimensionale. Una dintre figurile volumetrice binecunoscute care apare în problemele de geometrie este o prismă dreaptă. Să luăm în considerare în acest articol ce este aceasta și, de asemenea, să descriem în detaliu o prismă cu bază triunghiulară.

Prisma și tipurile sale

O prismă este o figură care se formează ca rezultat al translației paralele a unui poligon în spațiu. În urma acestei operații geometrice se formează o figură, formată din mai multe paralelograme și două poligoane identice paralele între ele. Paralelogramele sunt laturile prismei, iar poligoanele sunt bazele acesteia.

Orice prismă are n+2 laturi, 3n muchii și 2n vârfuri, unde n este numărul de colțuri sau laturi ale bazei poligonale. Imaginea arată o prismă pentagonală care are 7 laturi, 10 vârfuri și 15 muchii.

Clasa de figuri considerată este reprezentată de mai multe tipuri de prisme. Le enumerăm pe scurt:

• concave și convexe;
• oblic și drept;
• greșit și corect.

Fiecare cifră aparține unuia dintre cele trei tipuri de clasificare enumerate. Când rezolvați probleme geometrice, este mai ușor să efectuați calcule pentru prisme regulate și drepte. Acesta din urmă va fi discutat mai detaliat în următoarele paragrafe ale articolului.

Ce este o prismă dreaptă?

O prismă dreaptă este o prismă concavă sau convexă, regulată sau neregulată, în care toate laturile sunt reprezentate prin patrulatere cu unghiuri de 90°. Dacă cel puțin unul dintre patrulaturile laturilor nu este dreptunghi sau pătrat, atunci prisma se numește oblică. Se poate da și o altă definiție: o prismă dreaptă este o astfel de figură dintr-o clasă dată în care orice margine laterală este egală cu înălțimea. Sub înălțimea h a prismei, se presupune distanța dintre bazele acesteia.

Ambele definiții date că este o prismă directă sunt egale și autosuficiente. Din ele rezultă că toate unghiurile diedrice dintre oricare dintre baze și fiecare latură sunt de 90°.

S-a spus mai sus că este convenabil să lucrezi cu cifre drepte atunci când rezolvi probleme. Acest lucru se datorează faptului că înălțimea se potrivește cu lungimea nervurii laterale. Acest din urmă fapt facilitează procesul de calcul al volumului unei figuri și al ariei suprafeței sale laterale.

Volumul unei prisme directe

Volum - o valoare inerentă oricărei figuri spațiale, care reflectă numeric partea din spațiu închisă între suprafețele celui consideratobiect. Volumul unei prisme poate fi calculat folosind următoarea formulă generală:

V=S_oh.

Adică produsul înălțimii și aria bazei va da valoarea dorită V. Deoarece bazele unei prisme drepte sunt egale, atunci pentru a determina aria S_o poți lua oricare dintre ele.

Avantajul utilizării formulei de mai sus special pentru o prismă dreaptă în comparație cu celel alte tipuri ale acesteia este că este foarte ușor să găsești înălțimea figurii, deoarece aceasta coincide cu lungimea marginii laterale.

Zona laterală

Este convenabil să se calculeze nu numai volumul pentru o cifră dreaptă a clasei luate în considerare, ci și suprafața laterală a acesteia. Într-adevăr, orice latură a acestuia este fie un dreptunghi, fie un pătrat. Fiecare student știe cum să calculeze aria acestor cifre plate, pentru aceasta este necesar să se înmulțească laturile adiacente una cu ceal altă.

Să presupunem că baza prismei este un n-gon arbitrar ale cărui laturi sunt egale cu a_i. Indicele i variază de la 1 la n. Aria unui dreptunghi se calculează astfel:

S_i=a_ih.

Aria suprafeței laterale S_b este ușor de calculat dacă însumați toate ariile S_i dreptunghiuri. În acest caz, obținem formula finală pentru S_bprismă dreaptă:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

Astfel, pentru a determina aria suprafeței laterale pentru o prismă dreaptă, trebuie să înmulțiți înălțimea acesteia cu perimetrul unei baze.

Problemă cu o prismă triunghiulară

Să presupunem că este dată o prismă dreaptă. Baza este un triunghi dreptunghic. Picioarele acestui triunghi au 12 cm și 8 cm. Este necesar să se calculeze volumul figurii și aria sa totală dacă înălțimea prismei este de 15 cm.

În primul rând, să calculăm volumul unei prisme drepte. Triunghiul (dreptunghiular) situat la bazele sale are o arie:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48 cm².

După cum ați putea ghici, a₁ și a₂ sunt catete în această ecuație. Cunoscând aria de bază și înălțimea (vezi starea problemei), poți folosi formula pentru V:

V=S_oh=4815=720 cm³.

Aria totală a figurii este formată din două părți: zonele bazelor și suprafața laterală. Suprafețele celor două baze sunt:

S_2o=2S_o=482=96 cm².

Pentru a calcula suprafața laterală, trebuie să cunoașteți perimetrul unui triunghi dreptunghic. Calculați prin teorema lui Pitagora ipotenuza sa a₃, avem:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

Atunci perimetrul triunghiului bazei prismei drepte va fi:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Aplicând formula pentru S_b, care a fost scrisă în paragraful anterior,obține:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Adăugând ariile lui S_2o și S_b, obținem suprafața totală a figurii geometrice studiate:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3cm^2.

O prismă triunghiulară, care este realizată din tipuri speciale de sticlă, este folosită în optică pentru a studia spectrele obiectelor care emit lumină. Astfel de prisme sunt capabile să descompună lumina în frecvențe componente datorită fenomenului de dispersie.