Rotația corpurilor este unul dintre tipurile importante de mișcare mecanică în tehnologie și natură. Spre deosebire de mișcarea liniară, este descrisă de propriul set de caracteristici cinematice. Una dintre ele este accelerația unghiulară. Caracterizăm această valoare în articol.
Mișcare de rotație
Înainte de a vorbi despre accelerația unghiulară, să descriem tipul de mișcare la care se aplică. Vorbim despre rotație, care este mișcarea corpurilor pe trasee circulare. Pentru ca rotația să aibă loc, trebuie îndeplinite anumite condiții:
- prezența unei axe sau a unui punct de rotație;
- prezența unei forțe centripete care ar menține corpul pe o orbită circulară.
Exemple de acest tip de mișcare sunt diverse atracții, cum ar fi un carusel. În inginerie, rotația se manifestă prin mișcarea roților și arborilor. În natură, cel mai frapant exemplu al acestui tip de mișcare este rotația planetelor în jurul propriei axe și în jurul Soarelui. Rolul forței centripete în aceste exemple este jucat de forțele de interacțiune interatomică în solide și de forțele gravitaționale.interacțiune.
Caracteristicile cinematice ale rotației
Aceste caracteristici includ trei mărimi: accelerația unghiulară, viteza unghiulară și unghiul de rotație. Le vom desemna prin simbolurile grecești α, ω și, respectiv, θ.
Deoarece corpul se mișcă într-un cerc, este convenabil să se calculeze unghiul θ, pe care îl va întoarce într-un anumit timp. Acest unghi este exprimat în radiani (rar în grade). Deoarece cercul are 2 × pi radiani, putem scrie o ecuație care să raporteze θ la lungimea arcului L a virajului:
L=θ × r
Unde r este raza de rotație. Această formulă este ușor de obținut dacă vă amintiți expresia corespunzătoare pentru circumferință.
Viteza unghiulară ω, ca și omologul său liniar, descrie viteza de rotație în jurul axei, adică este determinată conform următoarei expresii:
ω¯=d θ / d t
Mărimea ω¯ este o valoare vectorială. Este îndreptată de-a lungul axei de rotație. Unitatea sa este radiani pe secundă (rad/s).
În sfârșit, accelerația unghiulară este o caracteristică fizică care determină rata de schimbare a valorii lui ω¯, care se scrie matematic după cum urmează:
α¯=d ω¯/ d t
Vectorul α¯ este îndreptat spre schimbarea vectorului viteză ω¯. Mai departe se va spune că accelerația unghiulară este îndreptată către vectorul momentului de forță. Această valoare este măsurată în radiani.secundă pătrată (rad/s2).
Moment de forță și accelerație
Dacă ne amintim legea lui Newton, care leagă forța și accelerația liniară într-o singură egalitate, atunci, transferând această lege în cazul rotației, putem scrie următoarea expresie:
M¯=I × α¯
Aici M¯ este momentul forței, care este produsul forței care tinde să rotească sistemul înmulțit cu pârghia - distanța de la punctul de aplicare a forței la axă. Valoarea I este analogă cu masa corpului și se numește momentul de inerție. Formula scrisă se numește ecuația momentelor. Din aceasta, accelerația unghiulară poate fi calculată după cum urmează:
α¯=M¯/ I
Deoarece I este un scalar, α¯ este întotdeauna îndreptat către momentul de acțiune al forței M¯. Direcția lui M¯ este determinată de regula mâinii drepte sau de regula gimlet. Vectorii M¯ și α¯ sunt perpendiculari pe planul de rotație. Cu cât este mai mare momentul de inerție al corpului, cu atât este mai mică valoarea accelerației unghiulare pe care momentul fix M¯ o poate conferi sistemului.
Ecuații cinematice
Pentru a înțelege rolul important pe care îl joacă accelerația unghiulară în descrierea mișcării de rotație, să notăm formulele care leagă mărimile cinematice studiate mai sus.
În cazul unei rotații uniform accelerate, sunt valabile următoarele relații matematice:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Prima formulă arată că unghiulviteza va crește în timp conform unei legi liniare. A doua expresie vă permite să calculați unghiul cu care corpul se va întoarce într-un timp cunoscut t. Graficul funcției θ(t) este o parabolă. În ambele cazuri, accelerația unghiulară este o constantă.
Dacă folosim formula relației dintre L și θ dată la începutul articolului, putem obține o expresie pentru α în termeni de accelerație liniară a:
α=a / r
Dacă α este constantă, atunci pe măsură ce distanța față de axa de rotație r crește, accelerația liniară a va crește proporțional. De aceea, caracteristicile unghiulare sunt folosite pentru rotație, spre deosebire de cele liniare, ele nu se modifică cu creșterea sau descreșterea r.
Exemplu de problemă
Arborele metalic, care se rotește cu o frecvență de 2.000 de rotații pe secundă, a început să încetinească și s-a oprit complet după 1 minut. Este necesar să se calculeze cu ce accelerație unghiulară a avut loc procesul de decelerare a arborelui. De asemenea, ar trebui să calculați numărul de rotații pe care le-a făcut arborele înainte de a se opri.
Procesul de decelerare a rotației este descris de următoarea expresie:
ω=ω0- α × t
Viteza unghiulară inițială ω0 este determinată din frecvența de rotație f după cum urmează:
ω0=2 × pi × f
Deoarece știm timpul de decelerare, atunci obținem valoarea accelerației α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Acest număr ar trebui luat cu semnul minus,pentru că vorbim despre încetinirea sistemului, nu accelerarea acestuia.
Pentru a determina numărul de rotații pe care le va face arborele în timpul frânării, aplicați expresia:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376.806 rad.
Valoarea obținută a unghiului de rotație θ în radiani este pur și simplu convertită în numărul de rotații făcute de arbore înainte de a se opri complet folosind o împărțire simplă cu 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60.001 de spire.
Astfel, am primit toate răspunsurile la întrebările problemei: α=-209, 33 rad/s2, n=60.001 de rotații.
