Cinematica este o parte a fizicii care ia în considerare legile mișcării corpurilor. Diferența sa față de dinamică este că nu ia în considerare forțele care acționează asupra unui corp în mișcare. Acest articol este dedicat problemei cinematicii mișcării de rotație.
Mișcarea de rotație și diferența acesteia față de mișcarea înainte
Dacă acordați atenție obiectelor în mișcare din jur, puteți vedea că acestea fie se mișcă în linie dreaptă (mașina circulă pe drum, avionul zboară pe cer), fie în cerc (aceeași mașină intrând într-o viraj, rotația roții). Tipuri mai complexe de mișcare a obiectelor pot fi reduse, ca primă aproximare, la o combinație a celor două tipuri notate.
Mișcarea progresivă implică schimbarea coordonatelor spațiale ale corpului. În acest caz, este adesea considerat un punct material (dimensiunile geometrice nu sunt luate în considerare).
Mișcarea de rotație este un tip de mișcare în caresistemul se deplasează într-un cerc în jurul unei axe. Mai mult decât atât, obiectul în acest caz este rareori considerat ca un punct material, cel mai adesea se utilizează o altă aproximare - un corp absolut rigid. Aceasta din urmă înseamnă că forțele elastice care acționează între atomii corpului sunt neglijate și se presupune că dimensiunile geometrice ale sistemului nu se modifică în timpul rotației. Cel mai simplu caz este o axă fixă.
Cinematica mișcării de translație și rotație respectă aceleași legi ale lui Newton. Mărimi fizice similare sunt folosite pentru a descrie ambele tipuri de mișcare.
Ce mărimi descriu mișcarea în fizică?
Cinematica mișcării de rotație și de translație folosește trei mărimi de bază:
- Calea parcursă. O vom nota cu litera L pentru translație și θ - pentru mișcarea de rotație.
- Viteză. Pentru un caz liniar, se scrie de obicei cu litera latină v, pentru deplasarea pe o cale circulară - cu litera greacă ω.
- Accelerare. Pentru o cale liniară și circulară, sunt folosite simbolurile a și, respectiv, α.
Conceptul de traiectorie este, de asemenea, adesea folosit. Dar pentru tipurile de mișcare ale obiectelor luate în considerare, acest concept devine banal, deoarece mișcarea de translație este caracterizată printr-o traiectorie liniară, iar rotațională - printr-un cerc.
Viteze liniare și unghiulare
Să începem cinematica mișcării de rotație a unui punct materialprivită din conceptul de viteză. Se știe că pentru mișcarea de translație a corpurilor, această valoare descrie ce cale va fi depășită pe unitatea de timp, adică:
v=L / t
V este măsurat în metri pe secundă. Pentru rotație, este incomod să luăm în considerare această viteză liniară, deoarece depinde de distanța până la axa de rotație. Se introduce o caracteristică ușor diferită:
ω=θ / t
Aceasta este una dintre principalele formule ale cinematicii mișcării de rotație. Arată în ce unghi θ întregul sistem se va întoarce în jurul unei axe fixe în timpul t.
Ambele formule de mai sus reflectă același proces fizic de viteză de mișcare. Numai pentru cazul liniar, distanța este importantă, iar pentru cazul circular, unghiul de rotație.
Ambele formule interacționează una cu ceal altă. Să obținem această conexiune. Dacă exprimăm θ în radiani, atunci un punct material care se rotește la o distanță R de axă, după ce a făcut o rotație, va parcurge calea L=2piR. Expresia pentru viteza liniară va lua forma:
v=L / t=2piR / t
Dar raportul dintre 2pi radiani și timpul t nu este altceva decât viteza unghiulară. Apoi obținem:
v=ωR
De aici se poate observa că cu cât viteza liniară v este mai mare și cu cât raza de rotație R este mai mică, cu atât viteza unghiulară ω este mai mare.
Accelerație liniară și unghiulară
O altă caracteristică importantă în cinematica mișcării de rotație a unui punct material este accelerația unghiulară. Înainte să-l cunoaștem, haidețiformula pentru o valoare liniară similară:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
Prima expresie reflectă accelerația instantanee (dt ->0), în timp ce a doua formulă este adecvată dacă viteza se modifică uniform în timp Δt. Accelerația obținută în a doua variantă se numește medie.
Având în vedere asemănarea mărimilor care descriu mișcarea liniară și de rotație, pentru accelerația unghiulară putem scrie:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
Interpretarea acestor formule este exact aceeași ca pentru cazul liniar. Singura diferență este că a arată câți metri pe secundă se modifică viteza pe unitatea de timp, iar α arată câți radiani pe secundă se modifică viteza unghiulară în aceeași perioadă de timp.
Să găsim legătura dintre aceste accelerații. Înlocuind valoarea pentru v, exprimată în termeni de ω, în oricare dintre cele două egalități pentru α, obținem:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Rezultă că cu cât raza de rotație este mai mică și cu cât accelerația liniară este mai mare, cu atât valoarea lui α este mai mare.
Distanța parcursă și unghiul de viraj
Rămâne de dat formule pentru ultima dintre cele trei mărimi de bază din cinematica mișcării de rotație în jurul unei axe fixe - pentru unghiul de rotație. Ca și în paragrafele precedente, notăm mai întâi formula pentru mișcarea rectilinie uniform accelerată, avem:
L=v0 t + a t2 / 2
Analogia completă cu mișcarea de rotație duce la următoarea formulă pentru aceasta:
θ=ω0 t + αt2 / 2
Ultima expresie vă permite să obțineți unghiul de rotație pentru orice moment t. Rețineți că circumferința este de 2pi radiani (≈ 6,3 radiani). Dacă, ca urmare a rezolvării problemei, valoarea lui θ este mai mare decât valoarea specificată, atunci corpul a făcut mai mult de o rotație în jurul axei.
Formula pentru relația dintre L și θ se obține prin înlocuirea valorilor corespunzătoare pentru ω0și α prin caracteristici liniare:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
Expresia rezultată reflectă semnificația unghiului θ însuși în radiani. Dacă θ=1 rad, atunci L=R, adică un unghi de un radian se sprijină pe un arc de lungime de o rază.
Exemplu de rezolvare a problemelor
Să rezolvăm următoarea problemă de cinematică rotațională: știm că mașina se mișcă cu o viteză de 70 km/h. Știind că diametrul roții sale este D=0,4 metri, este necesar să se determine valoarea lui ω pentru aceasta, precum și numărul de rotații pe care le va face atunci când mașina parcurge o distanță de 1 kilometru.
Pentru a găsi viteza unghiulară, este suficient să înlocuim datele cunoscute în formula pentru a le raporta la viteza liniară, obținem:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
La fel pentru unghiul θ la care se va întoarce roata după depășire1 km, obținem:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Având în vedere că o rotație este de 6,2832 radiani, obținem numărul de rotații ale roții care corespunde acestui unghi:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 de ture.
Am răspuns la întrebări folosind formulele din articol. De asemenea, a fost posibil să se rezolve problema într-un mod diferit: calculați timpul pentru care mașina va parcurge 1 km și înlocuiți-l în formula pentru unghiul de rotație, din care putem obține viteza unghiulară ω. Răspuns găsit.
