Matematica provine din Antichitate. Datorită ei, arhitectura, construcțiile și știința militară au dat o nouă rundă de dezvoltare, realizările care au fost obținute cu ajutorul matematicii au dus la mișcarea progresului. Până astăzi, matematica rămâne principala știință care se găsește în toate celel alte ramuri.
Pentru a fi educați, copiii din clasa I încep să se contopească treptat în acest mediu. Este foarte important să înțelegem matematica, deoarece ea, într-o măsură sau alta, se întâmplă pentru fiecare persoană de-a lungul vieții sale. Acest articol va analiza unul dintre elementele cheie - găsirea și aplicarea derivatelor. Nu toată lumea își poate imagina cât de larg este folosit acest concept. Luați în considerare mai mult de 10 aplicații de derivate în anumite domenii sau științe.
Aplicarea derivatei la studiul unei funcții
Derivatul este o astfel de limităraportul dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului său atunci când exponentul argumentului tinde spre zero. Derivata este un lucru indispensabil în studiul unei funcții. De exemplu, poate fi folosit pentru a determina creșterea și scăderea acestora din urmă, extrema, convexitatea și concavitatea. Calculul diferențial este inclus în programa obligatorie pentru studenții din anii I și II ai universităților de matematică.
Zerouri de acțiune și funcție
Prima etapă a oricărui studiu al graficului începe cu aflarea domeniului de definiție, în cazuri mai rare - valoarea. Domeniul de definiție este stabilit de-a lungul axei absciselor, cu alte cuvinte, acestea sunt valori numerice pe axa OX. Adesea domeniul de aplicare este deja setat, dar dacă nu este, atunci valoarea argumentului x ar trebui evaluată. Să presupunem că, dacă pentru unele valori ale argumentului funcția nu are sens, atunci acest argument este exclus din domeniul de aplicare.
Zerourile funcției se găsesc într-un mod simplu: funcția f(x) trebuie egalată cu zero, iar ecuația rezultată trebuie rezolvată în raport cu o variabilă x. Rădăcinile obținute ale ecuației sunt zerourile funcției, adică în aceste x funcția este 0.
Crește și descrește
Utilizarea derivatei pentru a studia funcțiile pentru monotonitate poate fi considerată din două poziții. O funcție monotonă este o categorie care are numai valori pozitive ale derivatei sau numai valori negative. Cu cuvinte simple, funcția crește sau scade doar pe tot intervalul studiat:
- Măriți parametrul. Funcţief(x) va crește dacă derivata lui f`(x) este mai mare decât zero.
- Parametru descendent. Funcția f(x) va scădea dacă derivata lui f`(x) este mai mică decât zero.
Tangentă și pantă
Aplicarea derivatei la studiul unei funcții este determinată și de tangenta (linia dreaptă îndreptată la un unghi) la graficul funcției într-un punct dat. Tangenta la un punct (x0) - o dreaptă care trece printr-un punct și aparține funcției ale cărei coordonate sunt (x0, f(x) 0 )) și având panta f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - ecuația tangentei la punctul dat al graficului funcției.
Semnificația geometrică a derivatei: derivata funcției f(x) este egală cu panta tangentei formate la graficul acestei funcții într-un punct dat x. Coeficientul unghiular, la rândul său, este egal cu tangentei unghiului de înclinare a tangentei la axa OX (abscisa) în direcția pozitivă. Acest corolar este fundamental pentru aplicarea derivatei la graficul unei funcții.
puncte extreme
Aplicarea unui derivat la un studiu implică găsirea punctelor mari și scăzute.
Pentru a găsi și determina punctele minime și maxime, trebuie să:
- Găsiți derivata funcției f(x).
- Setați ecuația rezultată la zero.
- Găsiți rădăcinile ecuației.
- Găsiți punctele mari și scăzute.
Pentru a găsi extremecaracteristici:
- Găsiți punctele minime și maxime folosind metoda de mai sus.
- Înlocuiți aceste puncte în ecuația inițială și calculați ymax și ymin
Punctul maxim al funcției este cea mai mare valoare a funcției f(x) pe interval, cu alte cuvinte xmax.
Punctul minim al funcției este cea mai mică valoare a funcției f(x) pe interval, cu alte cuvinte xnume
Punctele extreme sunt aceleași cu punctele maxime și minime, iar extrema funcției (ymax. și yminimum) - valori ale funcției care corespund punctelor extreme.
Convexitate și concavitate
Puteți determina convexitatea și concavitatea recurgând la utilizarea derivatei pentru trasare:
- O funcție f(x) examinată pe intervalul (a, b) este concavă dacă funcția este situată sub toate tangentele sale în acest interval.
- Funcția f(x) studiată pe intervalul (a, b) este convexă dacă funcția este situată deasupra tuturor tangentelor sale în interiorul acestui interval.
Punctul care separă convexitatea și concavitatea se numește punctul de inflexiune al funcției.
Pentru a găsi puncte de inflexiune:
- Găsiți puncte critice de al doilea fel (derivată a doua).
- Punctele de inflexiune sunt acele puncte critice care separă două semne opuse.
- Calculați valorile funcției la punctele de inflexiune ale funcției.
Derivate parțiale
Aplicațieexistă derivate de acest tip în problemele în care se utilizează mai mult de o variabilă necunoscută. Cel mai adesea, astfel de derivate se întâlnesc la trasarea unui grafic de funcții, pentru a fi mai precis, suprafețe în spațiu, unde în loc de două axe sunt trei, deci, trei mărimi (două variabile și o constantă).
Regula de bază atunci când se calculează derivate parțiale este de a alege o variabilă și de a trata restul ca constante. Prin urmare, la calcularea derivatei parțiale, constanta devine ca și cum ar fi o valoare numerică (în multe tabele de derivate, acestea sunt notate cu C=const). Semnificația unei astfel de derivate este rata de schimbare a funcției z=f(x, y) de-a lungul axelor OX și OY, adică caracterizează abruptul depresiunilor și umflăturilor suprafeței construite.
Derivată în fizică
Utilizarea derivatului în fizică este larg răspândită și importantă. Semnificație fizică: derivata traseului în raport cu timpul este viteza, iar accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul. Din sensul fizic, multe ramuri pot fi atrase în diferite ramuri ale fizicii, păstrând în același timp complet sensul derivatului.
Cu ajutorul derivatei se găsesc următoarele valori:
- Viteza în cinematică, unde se calculează derivata distanței parcurse. Dacă se găsește a doua derivată a căii sau prima derivată a vitezei, atunci se găsește accelerația corpului. În plus, este posibil să se găsească viteza instantanee a unui punct material, dar pentru aceasta este necesar să se cunoască incrementul ∆t și ∆r.
- În electrodinamică:calculul puterii instantanee a curentului alternativ, precum și al EMF al inducției electromagnetice. Calculând derivata, puteți găsi puterea maximă. Derivată a cantității de sarcină electrică este puterea curentului în conductor.
Derivat în chimie și biologie
Chimie: derivatul este folosit pentru a determina viteza unei reacții chimice. Semnificația chimică a derivatei: funcția p=p(t), în acest caz p este cantitatea de substanță care intră într-o reacție chimică în timpul t. ∆t - increment de timp, ∆p - increment de cantitate de substanță. Limita raportului dintre ∆p și ∆t, la care ∆t tinde spre zero, se numește viteza unei reacții chimice. Valoarea medie a unei reacții chimice este raportul ∆p/∆t. La determinarea vitezei, este necesar să se cunoască exact toți parametrii, condițiile necesare, să se cunoască starea agregată a substanței și a mediului de curgere. Acesta este un aspect destul de mare în chimie, care este utilizat pe scară largă în diverse industrii și activități umane.
Biologie: conceptul de derivat este folosit pentru a calcula rata medie de reproducere. Semnificație biologică: avem o funcție y=x(t). ∆t - increment de timp. Apoi, cu ajutorul unor transformări, obținem funcția y`=P(t)=x`(t) - activitatea vitală a populației de timp t (rata medie de reproducere). Această utilizare a derivatului vă permite să păstrați statistici, să urmăriți rata de reproducere și așa mai departe.
Derivat în geografie și economie
Derivatul permite geografilor să decidăsarcini precum găsirea populației, calcularea valorilor în seismografie, calcularea radioactivității indicatorilor geofizici nucleari, calcularea interpolării.
În economie, o parte importantă a calculelor este calculul diferențial și calculul derivatului. În primul rând, acest lucru ne permite să determinăm limitele valorilor economice necesare. De exemplu, cea mai mare și cea mai scăzută productivitate a muncii, costuri, profituri. Practic, aceste valori sunt calculate din grafice de funcții, unde găsesc extreme, determină monotonitatea funcției în zona dorită.
Concluzie
Rolul acestui calcul diferențial este implicat, așa cum se menționează în articol, în diferite structuri științifice. Utilizarea funcțiilor derivate este un element important în partea practică a științei și producției. Nu degeaba am fost învățați în liceu și universitate să construim grafice complexe, să explorăm și să lucrăm la funcții. După cum puteți vedea, fără derivate și calcule diferențiale, ar fi imposibil să se calculeze indicatori și cantități vitale. Omenirea a învățat să modeleze diverse procese și să le exploreze, să rezolve probleme matematice complexe. Într-adevăr, matematica este regina tuturor științelor, deoarece această știință stă la baza tuturor celorl alte discipline naturale și tehnice.
