Probabil, conceptul de derivat este familiar fiecăruia dintre noi încă de la școală. De obicei, elevii au dificultăți în a înțelege acest lucru, fără îndoială, foarte important. Este utilizat în mod activ în diverse domenii ale vieții oamenilor, iar multe dezvoltări inginerești s-au bazat tocmai pe calcule matematice obținute cu ajutorul derivatului. Dar înainte de a trece la analiza a ceea ce sunt derivatele numerelor, cum să le calculăm și unde ne sunt utile, să ne aruncăm în istorie.
Istorie
Conceptul de derivată, care stă la baza analizei matematice, a fost descoperit (mai bine ar fi să spunem „inventat”, pentru că nu a existat în natură ca atare) de Isaac Newton, pe care îl cunoaștem cu toții de la descoperirea legii gravitaţiei universale. El a fost primul care a aplicat acest concept în fizică pentru a lega natura vitezei și accelerației corpurilor. Și mulți oameni de știință încă îl laudă pe Newton pentru această invenție magnifică, pentru că, de fapt, el a inventat baza calculului diferențial și integral, de fapt, baza unei întregi domenii de matematică numită "calcul". Dacă la acel moment ar fi primit Premiul Nobel, Newton l-ar fi primit cu mare probabilitate de mai multe ori.
Nu fără alte minți grozave. Cu excepția lui Newtongenii matematici eminenti precum Leonhard Euler, Louis Lagrange și Gottfried Leibniz au lucrat la dezvoltarea derivatei și integralei. Datorită lor am primit teoria calculului diferențial în forma în care există până astăzi. Apropo, Leibniz a fost cel care a descoperit semnificația geometrică a derivatei, care s-a dovedit a fi nimic mai mult decât tangenta pantei tangentei la graficul funcției.
Ce sunt derivatele numerelor? Să repetăm puțin prin ce am trecut la școală.
Ce este un derivat?
Acest concept poate fi definit în mai multe moduri diferite. Cea mai simplă explicație este că derivata este rata de schimbare a funcției. Imaginează-ți un grafic al unei funcții y a lui x. Dacă nu este dreaptă, atunci are câteva curbe în grafic, perioade de creștere și scădere. Dacă luăm un interval infinit de mic din acest grafic, acesta va fi un segment de linie dreaptă. Deci, raportul dintre dimensiunea acestui segment infinit de mic de-a lungul coordonatei y și dimensiunea de-a lungul coordonatei x va fi derivata acestei funcții într-un punct dat. Dacă luăm în considerare funcția ca un întreg, și nu într-un anumit punct, atunci vom obține o funcție derivată, adică o anumită dependență a lui y de x.
Pe lângă semnificația fizică a derivatei ca rată de schimbare a unei funcții, există și un sens geometric. Vom vorbi despre el acum.
Sens geometric
Derivatele numerelor în sine reprezintă un anumit număr, care, fără o înțelegere adecvată, nu poartănici un punct. Se dovedește că derivata nu arată doar rata de creștere sau scădere a funcției, ci și tangenta pantei tangentei la graficul funcției într-un punct dat. Nu este o definiție foarte clară. Să o analizăm mai detaliat. Să presupunem că avem un grafic al unei funcții (pentru interes, să luăm o curbă). Are un număr infinit de puncte, dar există zone în care un singur punct are un maxim sau un minim. Prin orice astfel de punct este posibil să se tragă o dreaptă care ar fi perpendiculară pe graficul funcției în acel punct. O astfel de dreaptă va fi numită tangentă. Să presupunem că l-am petrecut până la intersecția cu axa OX. Deci, unghiul obținut între tangentă și axa OX va fi determinat de derivată. Mai precis, tangenta acestui unghi va fi egală cu acesta.
Să vorbim puțin despre cazuri speciale și să analizăm derivatele numerelor.
Cazuri speciale
După cum am spus deja, derivatele numerelor sunt valorile derivatei într-un anumit punct. De exemplu, să luăm funcția y=x2. Derivata x este un număr, iar în cazul general, o funcție egală cu 2x. Dacă trebuie să calculăm derivata, să spunem, în punctul x0=1, atunci obținem y'(1)=21=2. Totul este foarte simplu. Un caz interesant este derivata unui număr complex. Nu vom intra într-o explicație detaliată a ceea ce este un număr complex. Să spunem doar că acesta este un număr care conține așa-numita unitate imaginară - un număr al cărui pătrat este -1. Calculul unei astfel de derivate este posibil numai dacă sunt următoarelecondiții:
1) Trebuie să existe derivate parțiale de ordinul întâi ale părților reale și imaginare în raport cu Y și X.
2) Condițiile Cauchy-Riemann asociate cu egalitatea derivatelor parțiale descrise în primul paragraf sunt îndeplinite.
Un alt caz interesant, deși nu la fel de complicat ca cel anterior, este derivatul unui număr negativ. De fapt, orice număr negativ poate fi reprezentat ca un număr pozitiv înmulțit cu -1. Ei bine, derivata constantei și a funcției este egală cu constanta înmulțită cu derivata funcției.
Va fi interesant să aflați despre rolul derivatului în viața de zi cu zi și despre asta vom discuta acum.
Aplicație
Probabil, fiecare dintre noi măcar o dată în viață se surprinde crezând că matematica este puțin probabil să-i fie de folos. Și un lucru atât de complicat ca un derivat, probabil, nu are deloc aplicație. De fapt, matematica este o știință fundamentală, iar toate roadele ei sunt dezvoltate în principal de fizică, chimie, astronomie și chiar economie. Derivata a fost începutul analizei matematice, care ne-a oferit capacitatea de a trage concluzii din graficele funcțiilor și am învățat să interpretăm legile naturii și să le transformăm în avantajul nostru datorită acesteia.
Concluzie
Desigur, nu toată lumea poate avea nevoie de un derivat în viața reală. Dar matematica dezvoltă logica, de care cu siguranță va fi nevoie. Nu degeaba matematica este numită regina științelor: ea formează baza înțelegerii altor domenii ale cunoașterii.
