Pentru a înțelege care sunt punctele extreme ale unei funcții, nu este deloc necesar să știți despre prezența primei și a doua derivate și să înțelegeți semnificația lor fizică. Mai întâi trebuie să înțelegeți următoarele:
- funcție extrema maximizează sau, dimpotrivă, minimiză valoarea funcției într-un cartier arbitrar mic;
- Nu ar trebui să existe o întrerupere a funcției la punctul extrem.
Și acum la fel, doar în limbaj simplu. Uită-te la vârful unui pix. Dacă stiloul este așezat vertical, cu capătul scris în sus, atunci chiar mijlocul mingii va fi punctul extrem - cel mai în alt punct. În acest caz, vorbim despre maxim. Acum, dacă întoarceți stiloul cu capătul de scris în jos, atunci la mijlocul bilei va exista deja un minim al funcției. Cu ajutorul figurii prezentate aici, vă puteți imagina manipulările enumerate pentru un creion de papetărie. Deci, extremele unei funcții sunt întotdeauna puncte critice: maximele sau minimele sale. Secțiunea adiacentă a diagramei poate fi în mod arbitrar ascuțită sau netedă, dar trebuie să existe pe ambele părți, doar în acest caz punctul este un extremum. Dacă graficul este prezent doar pe o parte, acest punct nu va fi un extremum chiar dacă pe o partesunt îndeplinite condițiile extreme. Acum să studiem extremele funcției din punct de vedere științific. Pentru ca un punct să fie considerat un extremum, este necesar și suficient ca:
- prima derivată a fost egală cu zero sau nu a existat la punctul respectiv;
- prima derivată și-a schimbat semnul în acest moment.
Condiția este interpretată oarecum diferit din punctul de vedere al derivatelor de ordin superior: pentru o funcție diferențiabilă într-un punct, este suficient să existe o derivată de ordin impar care nu este egală cu zero, în timp ce toate derivatele de ordin inferior trebuie să existe și să fie egale cu zero. Aceasta este cea mai simplă interpretare a teoremelor din manualele de matematică superioară. Dar pentru cei mai obișnuiți oameni, merită explicat acest punct cu un exemplu. Baza este o parabolă obișnuită. Imediat faceți o rezervare, la punctul zero are minim. Doar puțină matematică:
- prima derivată (X2)|=2X, pentru punctul zero 2X=0;
- derivată a doua (2X)|=2, pentru punctul zero 2=2.
Aceasta este o ilustrare simplă a condițiilor care determină extremele funcției atât pentru derivatele de ordinul întâi, cât și pentru derivatele de ordin superior. Putem adăuga la aceasta că derivata a doua este exact aceeași derivată de ordin impar, inegală cu zero, despre care s-a discutat puțin mai sus. Când este vorba de extreme ale unei funcții a două variabile, trebuie îndeplinite condițiile pentru ambele argumente. Cândare loc generalizarea, apoi se folosesc derivate parțiale. Adică, este necesar pentru prezența unui extremum într-un punct în care ambele derivate de ordinul întâi sunt egale cu zero, sau cel puțin una dintre ele nu există. Pentru suficiența prezenței unui extremum, se investighează o expresie, care este diferența dintre produsul derivatelor de ordinul doi și pătratul derivatei mixte de ordinul doi a funcției. Dacă această expresie este mai mare decât zero, atunci există un extremum, iar dacă există zero, atunci întrebarea rămâne deschisă și este nevoie de cercetări suplimentare.
