Un concept important în matematică este o funcție. Cu ajutorul acestuia, puteți vizualiza multe procese care au loc în natură, puteți reflecta relația dintre anumite cantități folosind formule, tabele și imagini pe un grafic. Un exemplu este dependența presiunii unui strat de lichid pe un corp de adâncimea de scufundare, accelerație - de acțiunea unei anumite forțe asupra unui obiect, creșterea temperaturii - de energia transmisă și multe alte procese. Studiul unei funcții presupune construirea unui grafic, clarificarea proprietăților acestuia, domeniul și valorile, intervalele de creștere și scădere. Un punct important în acest proces este găsirea punctelor extreme. Despre cum să procedați corect și conversația va continua.
Despre conceptul în sine pe un exemplu specific
În medicină, trasarea unui grafic al funcției poate spune despre progresul unei boli în corpul unui pacient, reflectând vizual starea acestuia. Să presupunem că timpul în zile este reprezentat de-a lungul axei OX, iar temperatura corpului uman este reprezentată de-a lungul axei OY. Figura arată în mod clar cum acest indicator crește brusc șiapoi cade. De asemenea, este ușor de observat puncte singulare care reflectă momentele în care funcția, crescând anterior, începe să scadă și invers. Acestea sunt punctele extreme, adică valorile critice (maximum și minim) în acest caz ale temperaturii pacientului, după care apar modificări ale stării acestuia.
Unghi de înclinare
Este ușor de determinat din figură cum se modifică derivata unei funcții. Dacă liniile drepte ale graficului cresc în timp, atunci este pozitiv. Și cu cât sunt mai abrupte, cu atât valoarea derivatei este mai mare, pe măsură ce unghiul de înclinare crește. În perioadele de scădere, această valoare ia valori negative, ajungând la zero în punctele extreme, iar graficul derivatei în acest ultim caz este trasat paralel cu axa OX.
Orice alt proces ar trebui tratat în același mod. Dar cel mai bun lucru despre acest concept poate spune mișcarea diferitelor corpuri, arătate clar pe grafice.
Mișcare
Să presupunem că un obiect se mișcă în linie dreaptă, câștigând viteză uniform. În această perioadă, modificarea coordonatelor corpului reprezintă grafic o anumită curbă, pe care un matematician ar numi-o ramură a unei parabole. În același timp, funcția crește constant, deoarece indicatorii de coordonate se schimbă din ce în ce mai repede cu fiecare secundă. Graficul vitezei arată comportamentul derivatei, a cărei valoare crește și ea. Aceasta înseamnă că mișcarea nu are puncte critice.
Ar fi continuat la nesfârșit. Dar dacă corpul decide brusc să încetinească, opriți-vă și începeți să vă mișcați în altuldirecţie? În acest caz, indicatorii de coordonate vor începe să scadă. Și funcția va trece de valoarea critică și va trece de la creștere la descreștere.
În acest exemplu, puteți înțelege din nou că punctele extreme de pe graficul funcției apar în momentele în care acesta încetează să mai fie monoton.
Semnificația fizică a derivatului
Descris mai devreme a arătat clar că derivata este în esență rata de schimbare a funcției. Acest rafinament conține semnificația sa fizică. Punctele extreme sunt zone critice pe diagramă. Este posibil să le aflați și să le detectați prin calcularea valorii derivatei, care se dovedește a fi egală cu zero.
Există un alt semn, care este o condiție suficientă pentru un extremum. Derivata în astfel de locuri de inflexiune își schimbă semnul: de la „+” la „-” în regiunea maximului și de la „-” la „+” în regiunea minimului.
Mișcare sub influența gravitației
Să ne imaginăm o altă situație. Copiii, jucând mingea, au aruncat-o în așa fel încât a început să se miște în unghi față de orizont. La momentul inițial, viteza acestui obiect era cea mai mare, dar sub influența gravitației a început să scadă, iar cu fiecare secundă cu aceeași valoare, egală cu aproximativ 9,8 m/s2. Aceasta este valoarea accelerației care are loc sub influența gravitației pământului în timpul căderii libere. Pe Lună, ar fi de aproximativ șase ori mai mic.
Graficul care descrie mișcarea corpului este o parabolă cu ramuri,în jos. Cum să găsești puncte extreme? În acest caz, acesta este vârful funcției, unde viteza corpului (mingii) ia o valoare zero. Derivata functiei devine zero. În acest caz, direcția și, prin urmare, valoarea vitezei, se schimbă în sens invers. Corpul zboară în jos cu fiecare secundă din ce în ce mai repede și accelerează cu aceeași cantitate - 9,8 m/s2.
Derivată a doua
În cazul precedent, graficul modulului de viteză este desenat ca o linie dreaptă. Această linie este mai întâi îndreptată în jos, deoarece valoarea acestei cantități este în continuă scădere. După ce au ajuns la zero într-unul dintre momentele din timp, indicatorii acestei valori încep să crească, iar direcția reprezentării grafice a modulului de viteză se schimbă dramatic. Linia este acum îndreptată în sus.
Velocitatea, fiind derivata în timp a coordonatei, are și un punct critic. În această regiune, funcția, inițial în scădere, începe să crească. Acesta este locul punctului extremum al derivatei funcției. În acest caz, panta tangentei devine zero. Iar accelerația, fiind derivata a doua a coordonatei în raport cu timpul, își schimbă semnul din „-” în „+”. Iar mișcarea de la uniform lent devine uniform accelerată.
Tabel de accelerație
Acum luați în considerare patru imagini. Fiecare dintre ele afișează un grafic al schimbării în timp a unei mărimi fizice precum accelerația. În cazul lui „A”, valoarea sa rămâne pozitivă și constantă. Aceasta înseamnă că viteza corpului, ca și coordonatele sale, crește constant. În cazul în care unimaginați-vă că obiectul se va mișca în acest fel pentru o perioadă de timp infinit de lungă, funcția care reflectă dependența coordonatei de timp se va dovedi a fi în continuă creștere. De aici rezultă că nu are regiuni critice. De asemenea, nu există puncte extreme pe graficul derivatei, adică viteza de schimbare liniară.
Același lucru este valabil și pentru cazul „B” cu o accelerație pozitivă și în continuă creștere. Adevărat, graficele pentru coordonate și viteză vor fi ceva mai complicate aici.
Când accelerația tinde spre zero
Vizând imaginea „B”, puteți vedea o imagine complet diferită care caracterizează mișcarea corpului. Viteza sa va fi reprezentată grafic ca o parabolă cu ramurile îndreptate în jos. Dacă continuăm linia care descrie modificarea accelerației până când aceasta se intersectează cu axa OX și mai departe, atunci ne putem imagina că până la această valoare critică, unde accelerația se dovedește a fi egală cu zero, viteza obiectului va crește. din ce în ce mai încet. Punctul extremum al derivatei funcției de coordonate va fi chiar în vârful parabolei, după care corpul va schimba radical natura mișcării și va începe să se miște în ceal altă direcție.
În acest din urmă caz, „G”, natura mișcării nu poate fi determinată cu precizie. Aici știm doar că nu există nicio accelerație pentru o anumită perioadă luată în considerare. Aceasta înseamnă că obiectul poate rămâne pe loc sau mișcarea are loc cu o viteză constantă.
Sarcina de adăugare a coordonatelor
Să trecem la sarcini care se găsesc adesea în studiul algebrei la școală și sunt oferite pentrupregătirea pentru examen. Figura de mai jos prezintă graficul funcției. Este necesar să se calculeze suma punctelor extreme.
Să facem acest lucru pentru axa y determinând coordonatele regiunilor critice în care se observă o schimbare a caracteristicilor funcției. Mai simplu spus, găsim valorile de-a lungul axei x pentru punctele de inflexiune, apoi trecem la adăugarea termenilor rezultați. Conform graficului, este evident că acestea iau următoarele valori: -8; -7; -5; -3; -2; unu; 3. Aceasta înseamnă -21, care este răspunsul.
Soluție optimă
Nu este necesar să explicăm cât de importantă poate fi alegerea soluției optime în îndeplinirea sarcinilor practice. La urma urmei, există multe modalități de a atinge obiectivul, iar cea mai bună cale de ieșire, de regulă, este doar una. Acest lucru este extrem de necesar, de exemplu, atunci când proiectați nave, nave spațiale și aeronave, structuri arhitecturale pentru a găsi forma optimă a acestor obiecte create de om.
Viteza vehiculelor depinde în mare măsură de minimizarea competentă a rezistenței pe care o întâmpină atunci când se deplasează prin apă și aer, de la suprasarcinile apărute sub influența forțelor gravitaționale și a multor alți indicatori. O navă pe mare are nevoie de calități precum stabilitatea în timpul unei furtuni; pentru o navă fluvială, un pescaj minim este important. Când se calculează designul optim, punctele extreme de pe grafic pot oferi vizual o idee despre cea mai bună soluție la o problemă complexă. Sarcini de acest fel sunt adeseasunt rezolvate în economie, în zone economice, în multe alte situații de viață.
Din istoria antică
Problemele extreme i-au ocupat chiar și pe înțelepții antici. Oamenii de știință greci au dezvăluit cu succes misterul ariilor și volumelor prin calcule matematice. Ei au fost primii care au înțeles că pe un plan de diferite figuri cu același perimetru, cercul are întotdeauna cea mai mare suprafață. În mod similar, o minge este înzestrată cu volumul maxim printre alte obiecte din spațiu cu aceeași suprafață. Personalități celebre precum Arhimede, Euclid, Aristotel, Apollonius s-au dedicat rezolvării unor astfel de probleme. Heron a reușit foarte bine să găsească puncte extremum, care, apelând la calcule, au construit dispozitive ingenioase. Acestea includ mașini automate care se deplasează cu ajutorul aburului, pompe și turbine care funcționează pe același principiu.
Constructia Cartaginei
Există o legendă, a cărei intriga se bazează pe rezolvarea uneia dintre problemele extreme. Rezultatul demersului de afaceri demonstrat de prințesa feniciană, care a apelat la înțelepți pentru ajutor, a fost construcția Cartaginei. Terenul pentru acest oraș străvechi și faimos a fost prezentat lui Dido (așa era numele domnitorului) de către conducătorul unuia dintre triburile africane. Suprafața alocației nu i s-a părut la început foarte mare, deoarece conform contractului trebuia acoperită cu o piele de boi. Dar prințesa le-a ordonat soldaților săi să o taie în fâșii subțiri și să facă din ele o centură. S-a dovedit a fi atât de lung încât a acoperit site-ul,unde se încadrează întregul oraș.
Originile calculului
Și acum să trecem din cele mai vechi timpuri la o epocă ulterioară. Interesant este că în secolul al XVII-lea, Kepler a fost îndemnat să înțeleagă bazele analizei matematice de o întâlnire cu un vânzător de vin. Comerciantul era atât de bine versat în profesia sa, încât putea determina cu ușurință volumul băuturii în butoi prin simpla coborâre a unui garou de fier în el. Reflectând la o asemenea curiozitate, celebrul om de știință a reușit să rezolve singur această dilemă. Se dovedește că meșteșugarii taieri din acele vremuri s-au apucat să facă vase în așa fel încât la o anumită înălțime și rază a circumferinței inelelor de prindere să aibă o capacitate maximă.
Aceasta a fost motivul lui Kepler pentru o reflecție ulterioară. Bochars a ajuns la soluția optimă printr-o lungă căutare, greșeli și noi încercări, trecându-și experiența din generație în generație. Dar Kepler a vrut să accelereze procesul și să învețe cum să facă același lucru într-un timp scurt prin calcule matematice. Toate dezvoltările sale, preluate de colegi, s-au transformat în teoremele acum cunoscute ale lui Fermat și Newton - Leibniz.
Problemă cu suprafața maximă
Să ne imaginăm că avem un fir cu lungimea de 50 cm. Cum să facem din el un dreptunghi cu cea mai mare suprafață?
Începând cu o decizie, ar trebui să pornim de la adevăruri simple și cunoscute. Este clar că perimetrul figurii noastre va fi de 50 cm. De asemenea, constă din lungimi de două ori mai mari ale ambelor părți. Aceasta înseamnă că, după ce a desemnat unul dintre ele drept „X”, celăl alt poate fi exprimat ca (25 - X).
De aici obținemo zonă egală cu X (25 - X). Această expresie poate fi reprezentată ca o funcție care ia multe valori. Rezolvarea problemei necesită găsirea maximului dintre ele, ceea ce înseamnă că ar trebui să aflați punctele extreme.
Pentru a face acest lucru, găsim prima derivată și o echivalăm cu zero. Rezultatul este o ecuație simplă: 25 - 2X=0.
Din aceasta aflăm că una dintre laturile X=12, 5.
De aceea, altul: 25 – 12, 5=12, 5.
Se pare că soluția problemei va fi un pătrat cu latura de 12,5 cm.
Cum să găsiți viteza maximă
Să luăm în considerare încă un exemplu. Imaginează-ți că există un corp a cărui mișcare rectilinie este descrisă de ecuația S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, unde distanța parcurs este exprimat în metri, iar timpul este în secunde. Este necesar să găsiți viteza maximă. Cum să o facă? Descărcat găsiți viteza, adică prima derivată.
Obținem ecuația: V=- 3t2 + 18t – 24. Acum, pentru a rezolva problema, trebuie să găsim din nou punctele extreme. Acest lucru trebuie făcut în același mod ca în sarcina anterioară. Găsiți prima derivată a vitezei și egalați-o cu zero.
Se obține: - 6t + 18=0. Prin urmare, t=3 s. Acesta este momentul în care viteza corpului capătă o valoare critică. Inlocuim datele obtinute in ecuatia vitezei si obtinem: V=3 m/s.
Dar cum să înțelegeți că aceasta este exact viteza maximă, deoarece punctele critice ale unei funcții pot fi valorile maxime sau minime ale acesteia? Pentru a verifica, trebuie să găsiți o secundăderivată a vitezei. Se exprimă ca număr 6 cu semnul minus. Aceasta înseamnă că punctul găsit este maxim. Și în cazul unei valori pozitive a derivatei a doua, ar exista un minim. Deci, soluția găsită s-a dovedit a fi corectă.
Sarcinile date ca exemplu sunt doar o parte dintre cele care pot fi rezolvate prin posibilitatea de a găsi punctele extreme ale unei funcții. De fapt, sunt multe altele. Și astfel de cunoștințe deschide posibilități nelimitate pentru civilizația umană.
