Pentru a găsi funcțiile de distribuție ale variabilelor aleatoare și variabilele acestora, este necesar să se studieze toate trăsăturile acestui domeniu de cunoaștere. Există mai multe metode diferite pentru a găsi valorile în cauză, inclusiv schimbarea unei variabile și generarea unui moment. Distribuția este un concept bazat pe elemente precum dispersia, variațiile. Cu toate acestea, ele caracterizează doar gradul de amplitudine a împrăștierii.
Cele mai importante funcții ale variabilelor aleatoare sunt cele care sunt legate și independente și distribuite în mod egal. De exemplu, dacă X1 este ponderea unui individ selectat aleatoriu dintr-o populație masculină, X2 este ponderea altuia, … și Xn este ponderea unei alte persoane din populația masculină, atunci trebuie să știm cum funcționează aleatoriu X este distribuit. În acest caz, se aplică teorema clasică numită teorema limită centrală. Vă permite să arătați că pentru n mare, funcția urmează distribuții standard.
Funcțiile unei variabile aleatoare
Teorema limită centrală este pentru aproximarea valorilor discrete luate în considerare, cum ar fi binom și Poisson. Funcțiile de distribuție ale variabilelor aleatoare sunt luate în considerare, în primul rând, pe valori simple ale unei variabile. De exemplu, dacă X este o variabilă aleatoare continuă având propria sa distribuție de probabilitate. În acest caz, explorăm cum să găsim funcția de densitate a lui Y folosind două abordări diferite, și anume metoda funcției de distribuție și modificarea variabilei. În primul rând, sunt luate în considerare doar valorile unu-la-unu. Apoi trebuie să modificați tehnica de schimbare a variabilei pentru a găsi probabilitatea acesteia. În cele din urmă, trebuie să învățăm cum funcția de distribuție cumulativă inversă poate ajuta la modelarea numerelor aleatoare care urmează anumite modele secvențiale.
Metoda de distribuire a valorilor luate în considerare
Metoda funcției de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare este aplicabilă pentru a găsi densitatea acesteia. Când se utilizează această metodă, se calculează o valoare cumulativă. Apoi, prin diferențierea acestuia, puteți obține densitatea de probabilitate. Acum că avem metoda funcției de distribuție, ne putem uita la câteva exemple suplimentare. Fie X o variabilă aleatoare continuă cu o anumită densitate de probabilitate.
Care este funcția de densitate de probabilitate a lui x2? Dacă vă uitați la sau reprezentați grafic funcția (sus și dreapta) y \u003d x2, puteți observa că este un X crescător și 0 <y<1. Acum trebuie să utilizați metoda considerată pentru a găsi Y. În primul rând, se găsește funcția de distribuție cumulativă, trebuie doar să diferențiați pentru a obține densitatea probabilității. Făcând astfel, obținem: 0<y<1. Metoda de distribuție a fost implementată cu succes pentru a găsi Y atunci când Y este o funcție crescătoare a lui X. Apropo, f(y) se integrează în 1 peste y.
În ultimul exemplu, s-a folosit mare grijă pentru a indexa funcțiile cumulate și densitatea probabilității cu X sau Y pentru a indica cărei variabile aleatoare aparțin. De exemplu, atunci când găsim funcția de distribuție cumulativă a lui Y, avem X. Dacă trebuie să găsiți o variabilă aleatoare X și densitatea acesteia, atunci trebuie doar să o diferențiați.
Tehnica de modificare a variabilei
Fie X o variabilă aleatoare continuă dată de o funcție de distribuție cu numitor comun f (x). În acest caz, dacă puneți valoarea lui y în X=v (Y), atunci obțineți valoarea lui x, de exemplu v (y). Acum, trebuie să obținem funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue Y. Unde prima și a doua egalitate au loc din definiția Y cumulativ. A treia egalitate este valabilă deoarece partea funcției pentru care u (X) ≦ y este de asemenea adevărat că X ≦ v (Y). Și ultima se face pentru a determina probabilitatea într-o variabilă aleatoare continuă X. Acum trebuie să luăm derivata lui FY (y), funcția de distribuție cumulativă a lui Y, pentru a obține densitatea de probabilitate Y.
Generalizare pentru funcția de scădere
Fie X o variabilă aleatoare continuă cu f (x) comun definit peste c1<x<c2. Și fie Y=u (X) o funcție descrescătoare a lui X cu invers X=v (Y). Deoarece funcția este continuă și descrescătoare, există o funcție inversă X=v (Y).
Pentru a rezolva această problemă, puteți colecta date cantitative și puteți utiliza funcția de distribuție cumulativă empirică. Cu aceste informații și apelând la ele, trebuie să combinați mostre de mijloace, abateri standard, date media și așa mai departe.
În mod similar, chiar și un model probabilistic destul de simplu poate avea un număr mare de rezultate. De exemplu, dacă arunci o monedă de 332 de ori. Atunci numărul de rezultate obținute din flip-uri este mai mare decât cel al Google (10100) - un număr, dar nu mai puțin de 100 de chintilioane de ori mai mare decât particulele elementare din universul cunoscut. Nu mă interesează o analiză care să ofere un răspuns la fiecare rezultat posibil. Ar fi nevoie de un concept mai simplu, cum ar fi numărul de capete sau cea mai lungă cursă a cozilor. Pentru a se concentra asupra problemelor de interes, se acceptă un anumit rezultat. Definiția în acest caz este următoarea: o variabilă aleatorie este o funcție reală cu un spațiu de probabilitate.
Intervalul S al unei variabile aleatoare este uneori numit spațiu de stări. Astfel, dacă X este valoarea în cauză, atunci deci N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc și așa mai departe. Ultima dintre acestea, rotunjind X la cel mai apropiat număr întreg, se numește funcția de etaj.
Funcții de distribuție
Odată ce funcția de distribuție a interesului pentru o variabilă aleatoare x este determinată, întrebarea devine de obicei: „Care sunt șansele ca X să cadă într-un subset de valori B?”. De exemplu, B={numere impare}, B={mai mare decât 1} sau B={între 2 și 7} pentru a indica acele rezultate care au X, valoareavariabilă aleatoare, în submulțimea A. Astfel, în exemplul de mai sus, puteți descrie evenimentele după cum urmează.
{X este un număr impar}, {X este mai mare decât 1}={X> 1}, {X este între 2 și 7}={2 <X <7} pentru a se potrivi cu cele trei opțiuni de mai sus pentru subsetul B. Multe proprietăți ale cantităților aleatoare nu sunt legate de un anumit X. Mai degrabă, ele depind de modul în care X își alocă valorile. Aceasta duce la o definiție care sună astfel: funcția de distribuție a unei variabile aleatoare x este cumulativă și este determinată de observații cantitative.
Variabile aleatoare și funcții de distribuție
Astfel, puteți calcula probabilitatea ca funcția de distribuție a unei variabile aleatoare x să ia valori în interval prin scădere. Gândiți-vă la includerea sau excluderea punctelor finale.
Vom numi o variabilă aleatorie discretă dacă are un spațiu de stări finit sau numărabil infinit. Astfel, X este numărul de capete de la trei aruncări independente ale unei monede părtinitoare care crește cu probabilitatea p. Trebuie să găsim funcția de distribuție cumulată a unei variabile aleatoare discrete FX pentru X. Fie X numărul de vârfuri dintr-o colecție de trei cărți. Apoi Y=X3 prin FX. FX începe la 0, se termină la 1 și nu scade pe măsură ce valorile x cresc. Funcția de distribuție FX cumulată a unei variabile aleatoare discrete X este constantă, cu excepția sărituri. Când săriți, FX-ul este continuu. Demonstrați afirmația despre cea corectăcontinuitatea funcției de distribuție din proprietatea probabilității este posibilă folosind definiția. Sună așa: o variabilă aleatorie constantă are un FX cumulativ care poate fi diferențiat.
Pentru a arăta cum se poate întâmpla acest lucru, putem da un exemplu: o țintă cu o rază de unitate. Probabil. dartul este distribuit uniform pe zona specificată. Pentru unele λ> 0. Astfel, funcțiile de distribuție ale variabilelor aleatoare continue cresc fără probleme. FX are proprietățile unei funcții de distribuție.
Un bărbat așteaptă la stația de autobuz până sosește autobuzul. După ce a hotărât singur că va refuza când așteptarea ajunge la 20 de minute. Aici este necesar să se găsească funcția de distribuție cumulativă pentru T. Ora în care o persoană va fi în continuare la stația de autobuz sau nu va pleca. În ciuda faptului că funcția de distribuție cumulativă este definită pentru fiecare variabilă aleatoare. Totuși, se vor folosi destul de des și alte caracteristici: masa pentru o variabilă discretă și funcția de densitate de distribuție a unei variabile aleatoare. De obicei, valoarea este scoasă prin una dintre aceste două valori.
Funcții de masă
Aceste valori sunt luate în considerare de următoarele proprietăți, care au un caracter general (de masă). Primul se bazează pe faptul că probabilitățile nu sunt negative. Al doilea decurge din observația că mulțimea pentru tot x=2S, spațiul stărilor pentru X, formează o partiție a libertății probabilistice a lui X. Exemplu: aruncarea unei monede părtinitoare ale cărei rezultate sunt independente. Poți continua să facianumite acțiuni până când obțineți o suflare de capete. Fie X o variabilă aleatoare care dă numărul de cozi din fața primului cap. Și p indică probabilitatea în orice acțiune dată.
Deci, funcția de probabilitate de masă are următoarele caracteristici. Deoarece termenii formează o succesiune numerică, X se numește o variabilă aleatorie geometrică. Schema geometrică c, cr, cr2,.,,, crn are o sumă. Și, prin urmare, sn are o limită ca n 1. În acest caz, suma infinită este limita.
Funcția de masă de mai sus formează o secvență geometrică cu un raport. Prin urmare, numerele naturale a și b. Diferența de valori în funcția de distribuție este egală cu valoarea funcției de masă.
Valorile densității luate în considerare au o definiție: X este o variabilă aleatoare a cărei distribuție FX are o derivată. FX care satisface Z xFX (x)=fX (t) dt-1 se numește funcție de densitate de probabilitate. Și X se numește o variabilă aleatoare continuă. În teorema fundamentală a calculului, funcția de densitate este derivata distribuției. Puteți calcula probabilități calculând integrale definite.
Deoarece datele sunt colectate din mai multe observații, trebuie luate în considerare mai multe variabile aleatorii la un moment dat pentru a modela procedurile experimentale. Prin urmare, setul acestor valori și distribuția lor comună pentru cele două variabile X1 și X2 înseamnă vizualizarea evenimentelor. Pentru variabile aleatoare discrete, sunt definite funcții de masă probabilistice comune. Pentru cele continue se consideră fX1, X2, undedensitatea de probabilitate comună este satisfăcută.
Variabile aleatoare independente
Două variabile aleatoare X1 și X2 sunt independente dacă oricare două evenimente asociate acestora sunt identice. În cuvinte, probabilitatea ca două evenimente {X1 2 B1} și {X2 2 B2} să apară în același timp, y, este egală cu produsul variabilelor de mai sus, ca fiecare dintre ele să se producă individual. Pentru variabile aleatoare discrete independente, există o funcție de masă probabilistică comună, care este produsul volumului ionic limitator. Pentru variabile aleatoare continue care sunt independente, funcția de densitate de probabilitate comună este produsul valorilor densității marginale. În sfârșit, considerăm n observații independente x1, x2,.,,, xn care rezultă dintr-o funcție de densitate sau masă necunoscută f. De exemplu, un parametru necunoscut în funcții pentru o variabilă aleatorie exponențială care descrie timpul de așteptare pentru un autobuz.
Imitația de variabile aleatoare
Scopul principal al acestui domeniu teoretic este de a oferi instrumentele necesare pentru a dezvolta proceduri de inferență bazate pe principii solide ale științei statistice. Astfel, un caz de utilizare foarte important pentru software este capacitatea de a genera pseudodate pentru a imita informațiile reale. Acest lucru face posibilă testarea și îmbunătățirea metodelor de analiză înainte de a fi nevoie să le utilizeze în baze de date reale. Acest lucru este necesar pentru a explora proprietățile datelor prin intermediulmodelare. Pentru multe familii de variabile aleatoare utilizate în mod obișnuit, R oferă comenzi pentru generarea lor. Pentru alte circumstanțe, vor fi necesare metode de modelare a unei secvențe de variabile aleatoare independente care au o distribuție comună.
Variabile aleatoare discrete și model de comandă. Comanda eșantion este folosită pentru a crea eșantioane aleatoare simple și stratificate. Ca rezultat, dacă este introdusă o secvență x, sample(x, 40) selectează 40 de înregistrări din x astfel încât toate opțiunile de dimensiunea 40 să aibă aceeași probabilitate. Aceasta folosește comanda implicită R pentru preluare fără înlocuire. Poate fi folosit și pentru a modela variabile aleatoare discrete. Pentru a face acest lucru, trebuie să furnizați un spațiu de stare în vectorul x și funcția de masă f. Un apel de înlocuire=TRUE indică faptul că eșantionarea are loc odată cu înlocuirea. Apoi, pentru a da un eșantion de n variabile aleatoare independente care au o funcție comună de masă f, se folosește eșantionul (x, n, înlocuiți=ADEVĂRAT, prob=f).
S-a determinat că 1 este cea mai mică valoare reprezentată și 4 este cea mai mare dintre toate. Dacă comanda prob=f este omisă, atunci eșantionul va eșantiona uniform din valorile din vectorul x. Puteți verifica simularea față de funcția de masă care a generat datele uitându-vă la semnul dublu egal,==. Și recalculând observațiile care iau toate valorile posibile pentru x. Puteți face o masă. Repetați acest lucru pentru 1000 și comparați simularea cu funcția de masă corespunzătoare.
Ilustrarea transformării probabilității
Primulsimulează funcții de distribuție omogene a variabilelor aleatoare u1, u2,.,,, un pe intervalul [0, 1]. Aproximativ 10% dintre numere ar trebui să fie în intervalul [0, 3, 0, 4]. Aceasta corespunde la 10% din simulări pe intervalul [0, 28, 0, 38] pentru o variabilă aleatoare cu funcția de distribuție FX afișată. În mod similar, aproximativ 10% din numerele aleatoare ar trebui să fie în intervalul [0, 7, 0, 8]. Aceasta corespunde cu 10% simulări pe intervalul [0, 96, 1, 51] al variabilei aleatoare cu funcția de distribuție FX. Aceste valori pe axa x pot fi obținute luând inversul din FX. Dacă X este o variabilă aleatoare continuă cu densitatea fX pozitivă peste tot în domeniul său, atunci funcția de distribuție este strict crescătoare. În acest caz, FX are o funcție inversă FX-1 cunoscută sub numele de funcție cuantilă. FX (x) u numai când x FX-1 (u). Transformarea probabilității rezultă din analiza variabilei aleatoare U=FX (X).
FX are un interval de la 0 la 1. Nu poate fi sub 0 sau peste 1. Pentru valorile lui u între 0 și 1. Dacă U poate fi simulat, atunci o variabilă aleatorie cu distribuție FX trebuie să fie simulat printr-o funcție cuantilă. Luați derivata pentru a vedea că densitatea u variază în intervalul 1. Deoarece variabila aleatoare U are o densitate constantă pe intervalul valorilor sale posibile, se numește uniformă pe intervalul [0, 1]. Este modelat în R cu comanda runif. Identitatea se numește transformare probabilistică. Puteți vedea cum funcționează în exemplul de bord de săgeți. X între 0 și 1, funcțiedistribuția u=FX (x)=x2 și, prin urmare, funcția cuantilă x=FX-1 (u). Este posibil să se modeleze observații independente ale distanței de la centrul panoului de săgeți și astfel să se creeze variabile aleatoare uniforme U1, U2,.,, Un. Funcția de distribuție și funcția empirică se bazează pe 100 de simulări ale distribuției unei plăci de săgeți. Pentru o variabilă aleatoare exponențială, se presupune că u=FX (x)=1 - exp (- x) și, prin urmare, x=- 1 ln (1 - u). Uneori, logica constă din afirmații echivalente. În acest caz, trebuie să concatenați cele două părți ale argumentului. Identitatea intersecției este similară pentru toate cele 2 {S i i} S, în loc de o anumită valoare. Uniunea Ci este egală cu spațiul de stări S și fiecare pereche se exclude reciproc. Deoarece Bi - este împărțit în trei axiome. Fiecare verificare se bazează pe probabilitatea corespunzătoare P. Pentru orice subset. Utilizarea unei identități pentru a vă asigura că răspunsul nu depinde de includerea punctelor finale ale intervalului.
Funcția exponențială și variabilele acesteia
Pentru fiecare rezultat în toate evenimentele, se utilizează în cele din urmă a doua proprietate a continuității probabilităților, care este considerată axiomatică. Legea distribuției funcției unei variabile aleatoare arată aici că fiecare are soluția și răspunsul său.
