Funcții de calcul diferențial ale uneia și mai multor variabile

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Calculul este o ramură a calculului care studiază derivatele, diferențialele și utilizarea lor în studiul unei funcții.

Istoria apariției

Calcul diferențial a apărut ca disciplină independentă în a doua jumătate a secolului al XVII-lea, datorită lucrării lui Newton și Leibniz, care au formulat prevederile de bază în calculul diferențialelor și au observat legătura dintre integrare și diferențiere. Din acel moment disciplina s-a dezvoltat odată cu calculul integralelor, formând astfel baza analizei matematice. Apariția acestor calcule a deschis o nouă perioadă modernă în lumea matematică și a provocat apariția unor noi discipline în știință. De asemenea, a extins posibilitatea aplicării științei matematice în știința naturii și în tehnologie.

Concepte de bază

Calcul diferențial se bazează pe conceptele fundamentale ale matematicii. Acestea sunt: număr real, continuitate, funcție și limită. De-a lungul timpului, au căpătat un aspect modern, datorită calculului integral și diferențial.

Proces de creare

Formarea calculului diferențial sub forma unei metode aplicate și apoi științifice a avut loc înainte de apariția unei teorii filozofice, care a fost creată de Nicolae din Cusa. Lucrările sale sunt considerate o dezvoltare evolutivă din judecățile științei antice. În ciuda faptului că însuși filozoful nu a fost matematician, contribuția sa la dezvoltarea științei matematice este de netăgăduit. Kuzansky a fost unul dintre primii care s-au îndepărtat de a considera aritmetica drept cel mai precis domeniu al științei, punând la îndoială matematica din acea vreme.

Matematicienii antici au folosit unitatea ca criteriu universal, în timp ce filozoful a propus infinitul ca o nouă măsură în locul numărului exact. În acest sens, reprezentarea preciziei în știința matematică este inversată. Cunoștințele științifice, după el, sunt împărțite în raționale și intelectuale. A doua este mai precisă, potrivit omului de știință, deoarece primul oferă doar un rezultat aproximativ.

Idee

Ideea și conceptul principal în calculul diferențial este legat de o funcție în vecinătăți mici ale anumitor puncte. Pentru a face acest lucru, este necesar să se creeze un aparat matematic pentru studiul unei funcții al cărei comportament într-o mică vecinătate a punctelor stabilite este apropiat de comportamentul unui polinom sau al unei funcții liniare. Aceasta se bazează pe definiția unei derivate și a unui diferențial.

Apariția conceptului de derivat a fost cauzată de un număr mare de probleme din științele naturii și matematică,ceea ce a condus la găsirea valorilor limitelor de același tip.

Una dintre principalele probleme care sunt date ca exemplu începând de la liceu este determinarea vitezei unui punct care se deplasează de-a lungul unei drepte și construirea unei linii tangente la această curbă. Diferența este legată de aceasta, deoarece este posibil să se aproximeze funcția într-o mică vecinătate a punctului considerat al funcției liniare.

Față de conceptul de derivată a unei funcții a unei variabile reale, definiția diferențialelor trece pur și simplu la o funcție de natură generală, în special, la imaginea unui spațiu euclidian pe altul.

Derivată

Lăsați punctul să se miște în direcția axei Oy, pentru timpul pe care îl luăm x, care se numără de la un anumit început al momentului. O astfel de mișcare poate fi descrisă de funcția y=f(x), care este atribuită fiecărui moment de timp x al coordonatei punctului deplasat. În mecanică, această funcție se numește legea mișcării. Principala caracteristică a mișcării, mai ales neuniformă, este viteza instantanee. Când un punct se mișcă de-a lungul axei Oy conform legii mecanicii, atunci la un moment de timp aleator x, el capătă coordonatele f (x). În momentul de timp x + Δx, unde Δx reprezintă incrementul de timp, coordonatele sale va fi f(x + Δx). Așa se formează formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), care se numește increment al funcției. Reprezintă calea parcursă de punctul în timp de la x la x + Δx.

Datorită apariției acestui lucruviteza în timp, se introduce derivata. Într-o funcție arbitrară, derivata la un punct fix se numește limită (presupunând că există). Poate fi desemnat prin anumite simboluri:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Procesul de calcul al derivatei se numește diferențiere.

Calcul diferențial al unei funcții a mai multor variabile

Această metodă de calcul este utilizată atunci când se examinează o funcție cu mai multe variabile. În prezența a două variabile x și y, derivata parțială față de x în punctul A se numește derivată a acestei funcții față de x cu y fix.

Poate fi reprezentat prin următoarele caractere:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x sau ∂f(x, y)’/∂x.

Abilități necesare

Abilități în integrare și diferențiere sunt necesare pentru a studia cu succes și a putea rezolva difuze. Pentru a facilita înțelegerea ecuațiilor diferențiale, ar trebui să aveți o bună înțelegere a subiectului derivatei și integralei nedefinite. De asemenea, nu strica să înveți cum să găsești derivata unei funcții date implicit. Acest lucru se datorează faptului că în procesul de studiu a integralelor și diferențierea va trebui adesea folosită.

Tipuri de ecuații diferențiale

În aproape toate lucrările de testare legate de ecuațiile diferențiale de ordinul întâi, există 3 tipuri de ecuații: omogene, cu variabile separabile, liniare neomogene.

Există și varietăți mai rare de ecuații: cu diferențe totale, ecuații lui Bernoulli și altele.

Noțiuni de bază pentru decizii

În primul rând, ar trebui să vă amintiți ecuațiile algebrice de la cursul școlii. Acestea conțin variabile și numere. Pentru a rezolva o ecuație obișnuită, trebuie să găsiți un set de numere care îndeplinesc o anumită condiție. De regulă, astfel de ecuații aveau o singură rădăcină și, pentru a verifica corectitudinea, nu trebuia decât să înlocuiți această valoare cu necunoscutul.

Ecuația diferențială este similară cu aceasta. În general, o astfel de ecuație de ordinul întâi include:

• Variabilă independentă.
• Derivata primei funcții.
• O funcție sau variabilă dependentă.

În unele cazuri, una dintre necunoscute, x sau y, poate lipsi, dar acest lucru nu este atât de important, deoarece prezența primei derivate, fără derivate de ordin superior, este necesară pentru soluție și diferențială calculul să fie corect.

A rezolva o ecuație diferențială înseamnă a găsi mulțimea tuturor funcțiilor care se potrivesc cu expresia dată. Un astfel de set de funcții este adesea numit soluția generală a DE.

Calcul integral

Calculul integral este una dintre secțiunile analizei matematice care studiază conceptul de integrală, proprietățile și metodele de calcul ale acesteia.

Adesea, calculul integralei are loc la calcularea ariei unei figuri curbilinii. Această zonă înseamnă limita la care tinde aria unui poligon înscris într-o figură dată cu o creștere treptată a laturii sale, în timp ce aceste laturi pot fi făcute mai puțin decât orice arbitrar specificat anterior.valoare mică.

Ideea principală în calcularea ariei unei figuri geometrice arbitrare este de a calcula aria unui dreptunghi, adică de a demonstra că aria sa este egală cu produsul dintre lungime și lățime. Când vine vorba de geometrie, toate construcțiile sunt realizate folosind o riglă și o busolă, iar apoi raportul dintre lungime și lățime este o valoare rațională. Când calculați aria unui triunghi dreptunghic, puteți determina că dacă puneți același triunghi lângă el, atunci se formează un dreptunghi. Într-un paralelogram, aria se calculează printr-o metodă similară, dar puțin mai complicată, printr-un dreptunghi și un triunghi. În poligoane, aria este calculată prin triunghiurile incluse în ea.

La determinarea economisirii unei curbe arbitrare, această metodă nu va funcționa. Dacă îl despărțiți în pătrate individuale, atunci vor fi locuri neocupate. În acest caz, se încearcă să se folosească două coperți, cu dreptunghiuri sus și jos, ca urmare, acestea includ graficul funcției și nu. Metoda de împărțire în aceste dreptunghiuri rămâne importantă aici. De asemenea, dacă luăm partiții din ce în ce mai mici, atunci zona de deasupra și dedesubt ar trebui să convergă la o anumită valoare.

Ar trebui să se întoarcă la metoda de împărțire în dreptunghiuri. Există două metode populare.

Riemann a formalizat definiția integralei creată de Leibniz și Newton ca aria unui subgraf. În acest caz s-au luat în considerare cifre, constând dintr-un anumit număr de dreptunghiuri verticale și obținute prin împărțiresegment. Când, pe măsură ce partiția scade, există o limită la care se reduce aria unei figuri similare, această limită se numește integrala Riemann a unei funcții pe un interval dat.

A doua metodă este construcția integralei Lebesgue, care constă în faptul că pentru locul împărțirii zonei definite în părți ale integrandului și apoi alcătuirea sumei integrale din valorile obținute în aceste părți, intervalul său de valori este împărțit în intervale și apoi însumat cu măsurile corespunzătoare de preimagini ale acestor integrale.

Beneficii moderne

Unul dintre principalele manuale pentru studiul calculului diferențial și integral a fost scris de Fikhtengolts - „Curs de calcul diferențial și integral”. Manualul său este un ghid fundamental pentru studiul analizei matematice, care a trecut prin multe ediții și traduceri în alte limbi. Creat pentru studenții universitari și a fost mult timp folosit în multe instituții de învățământ ca unul dintre principalele ajutoare de studiu. Oferă date teoretice și abilități practice. Publicat pentru prima dată în 1948.

Algoritm de cercetare a funcției

Pentru a investiga o funcție folosind metodele de calcul diferențial, trebuie să urmați algoritmul deja dat:

1. Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții.
2. Găsiți rădăcinile ecuației date.
3. Calculați extremele. Pentru a face acest lucru, calculați derivata și punctele în care este egală cu zero.
4. Înlocuiți valoarea rezultată în ecuație.

Varietăți de ecuații diferențiale

control de ordinul întâi (în caz contrar, diferențialcalculul unei singure variabile) și tipurile acestora:

• Ecuație separabilă: f(y)dy=g(x)dx.
• Cele mai simple ecuații sau calcul diferențial al unei funcții a unei variabile, având formula: y'=f(x).
• DE de ordinul întâi neomogen liniar: y'+P(x)y=Q(x).
• Ecuația diferențială Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Ecuație cu diferențe totale: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Ecuații diferențiale de ordinul doi și tipurile acestora:

• Ecuație diferențială omogenă liniară de ordinul doi cu valori constante ale coeficientului: y +py'+qy=0 p, q aparține lui R.
• Ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți: y +py'+qy=f(x).
• Ecuație diferențială liniară omogenă: y +p(x)y'+q(x)y=0 și ecuație neomogenă de ordinul doi: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Ecuații diferențiale de ordin superior și tipurile acestora:

• Ecuație diferențială care poate fi redusă în ordine: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Ecuație omogenă liniară de ordin superior: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0 și neomogen: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Pași în rezolvarea unei probleme cu o ecuație diferențială

Cu ajutorul telecomenzii se rezolvă nu numai întrebările matematice sau fizice, ci și diverse probleme de labiologie, economie, sociologie etc. În ciuda varietății mari de subiecte, ar trebui să adere la o singură secvență logică atunci când rezolvați astfel de probleme:

1. Compilare de telecomandă. Unul dintre cei mai dificili pași care necesită precizie maximă, deoarece orice greșeală va duce la rezultate complet greșite. Trebuie luați în considerare toți factorii care influențează procesul și trebuie determinate condițiile inițiale. De asemenea, ar trebui să se bazeze pe fapte și concluzii logice.
2. Rezolvarea ecuației formulate. Acest proces este mai simplu decât primul pas, deoarece necesită doar calcule matematice stricte.
3. Analiza și evaluarea rezultatelor. Soluția derivată trebuie evaluată pentru a stabili valoarea practică și teoretică a rezultatului.

Un exemplu de utilizare a ecuațiilor diferențiale în medicină

Utilizarea telecomenzii în domeniul medicinei are loc la construirea unui model matematic epidemiologic. În același timp, nu trebuie uitat că aceste ecuații se găsesc și în biologie și chimie, care sunt apropiate de medicină, deoarece studiul diferitelor populații biologice și procese chimice din corpul uman joacă un rol important în aceasta.

În exemplul de mai sus al unei epidemii, putem lua în considerare răspândirea infecției într-o societate izolată. Locuitorii sunt împărțiți în trei tipuri:

• Infectat, numărul x(t), constând din indivizi, purtători ai infecției, fiecare dintre acestea fiind contagioasă (perioada de incubație este scurtă).
• Al doilea tip includeindivizi susceptibili y(t) capabili să se infecteze prin contactul cu persoane infectate.
• A treia specie include indivizi imuni z(t) care sunt imuni sau au murit din cauza unei boli.

Numărul de indivizi este constant, contabilizarea nașterilor, deceselor naturale și migrației nu este luată în considerare. Vor exista două ipoteze la bază.

Procentul de incidență la un anumit punct de timp este x(t)y(t) (pe baza teoriei conform căreia numărul de cazuri este proporțional cu numărul de intersecții dintre reprezentanții bolnavi și cei susceptibili, care în primul aproximarea va fi proporțională cu x(t)y(t)), în legătură cu aceasta, numărul de cazuri crește, iar numărul de susceptibile scade la o rată care este calculată prin formula ax(t)y(t) (a > 0).

Numărul de indivizi imuni care au devenit imuni sau au murit crește într-un ritm proporțional cu numărul de cazuri, bx(t) (b > 0).

Ca urmare, puteți crea un sistem de ecuații ținând cont de toți cei trei indicatori și puteți trage concluzii pe baza acestuia.

Exemplu de economie

Calcul diferențial este adesea folosit în analiza economică. Sarcina principală în analiza economică este studiul cantităților din economie, care sunt scrise sub forma unei funcții. Acesta este utilizat atunci când se rezolvă probleme precum modificări ale veniturilor imediat după o creștere a impozitelor, introducerea de taxe, modificări ale veniturilor companiei atunci când se modifică costul de producție, în ce proporție pot fi înlocuiți lucrătorii pensionari cu echipamente noi. Pentru a rezolva astfel de probleme, este necesarconstruiți o funcție de conexiune din variabilele de intrare, care sunt apoi studiate folosind calculul diferențial.

În sfera economică, este adesea necesar să se găsească cei mai optimi indicatori: productivitatea maximă a muncii, cel mai mare venit, cele mai mici costuri etc. Fiecare astfel de indicator este o funcție a unuia sau mai multor argumente. De exemplu, producția poate fi privită ca o funcție a forței de muncă și a inputurilor de capital. În acest sens, găsirea unei valori adecvate poate fi redusă la găsirea maximului sau minimului unei funcții din una sau mai multe variabile.

Problemele de acest fel creează o clasă de probleme extreme în domeniul economic, a căror rezolvare necesită calcul diferenţial. Când un indicator economic trebuie să fie minimizat sau maximizat în funcție de un alt indicator, atunci în punctul de maxim, raportul dintre creșterea funcției și argumente va tinde spre zero dacă creșterea argumentului tinde spre zero. În caz contrar, atunci când un astfel de raport tinde către o valoare pozitivă sau negativă, punctul specificat nu este potrivit, deoarece prin creșterea sau scăderea argumentului, puteți modifica valoarea dependentă în direcția dorită. În terminologia calculului diferențial, aceasta va însemna că condiția necesară pentru maximul unei funcții este valoarea zero a derivatei sale.

În economie, sunt adesea probleme de a găsi extremul unei funcții cu mai multe variabile, deoarece indicatorii economici sunt formați din mulți factori. Întrebările de genul acesta sunt bune.studiat în teoria funcţiilor mai multor variabile, aplicând metode de calcul diferenţial. Astfel de probleme includ nu numai funcții maximizate și minimizate, ci și constrângeri. Astfel de întrebări sunt legate de programarea matematică și sunt rezolvate cu ajutorul unor metode special dezvoltate, tot bazate pe această ramură a științei.

Dintre metodele de calcul diferenţial utilizate în economie, o secţiune importantă este analiza marginală. În sfera economică, acest termen se referă la un set de metode de studiere a indicatorilor variabili și a rezultatelor la modificarea volumului de creație, consum, pe baza analizei indicatorilor marginali ai acestora. Indicatorul limitativ este derivatul sau derivatele parțiale cu mai multe variabile.

Calcul diferențial al mai multor variabile este un subiect important în domeniul analizei matematice. Pentru un studiu detaliat, puteți folosi diverse manuale pentru învățământul superior. Unul dintre cele mai faimoase a fost creat de Fikhtengolts - „Curs de calcul diferențial și integral”. După cum sugerează și numele, abilitățile de lucru cu integrale sunt de o importanță considerabilă pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Când are loc calculul diferențial al unei funcții a unei variabile, soluția devine mai simplă. Deși, trebuie menționat, este supus acelorași reguli de bază. Pentru a studia o funcție în practică prin calcul diferențial, este suficient să urmați algoritmul deja existent, care este dat în liceu și doar puțin complicat atunci când sunt introduși alții noi.variabile.