Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii, care este studiată numai de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectivele de familiarizare cu distribuția normală, entropia ansamblului, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare discrete? Atunci acest subiect va fi de mare interes pentru tine. Să ne familiarizăm cu unele dintre cele mai importante concepte de bază ale acestei secțiuni a științei.
Amintiți-vă elementele de bază
Chiar dacă vă amintiți cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Faptul este că, fără o înțelegere clară a elementelor de bază, nu veți putea lucra cu formulele discutate mai jos.
Deci, există un eveniment aleatoriu, un experiment. Ca urmare a acțiunilor efectuate, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele sunt mai frecvente, altele mai puțin frecvente. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv primite de un tip și numărul total de rezultate posibile. Numai cunoscând definiția clasică a acestui concept, puteți începe să studiați așteptările și varianța matematică a continuui.variabile aleatoare.
Media aritmetică
Chiar și la școală, la lecțiile de matematică, ai început să lucrezi cu media aritmetică. Acest concept este utilizat pe scară largă în teoria probabilității și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi în acest moment este că îl vom întâlni în formulele pentru așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare.
Avem o succesiune de numere și dorim să găsim media aritmetică. Tot ceea ce ni se cere este să însumăm tot ceea ce este disponibil și să împărțim la numărul de elemente din succesiune. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi 45 și vom împărți această valoare la 9. Răspuns: - 5.
Dispersie
Din punct de vedere științific, varianța este pătratul mediu al abaterilor valorilor caracteristicilor obținute de la media aritmetică. Unul este notat cu litera latină majusculă D. Ce este necesar pentru a o calcula? Pentru fiecare element al șirului, calculăm diferența dintre numărul disponibil și media aritmetică și o pătratăm. Vor exista exact atâtea valori câte rezultate pot exista pentru evenimentul pe care îl luăm în considerare. În continuare, rezumăm totul primit și împărțim la numărul de elemente din secvență. Dacă avem cinci rezultate posibile, atunci împărțiți la cinci.
Dispersia are și proprietăți pe care trebuie să le rețineți pentru a le aplica atunci când rezolvați probleme. De exemplu, dacă variabila aleatoare este mărită de X ori, varianța crește de X ori pătratul (adică, XX). Nu este niciodată mai mică de zero și nu depinde dedeplasarea valorilor cu o valoare egală în sus sau în jos. De asemenea, pentru încercările independente, varianța sumei este egală cu suma variațiilor.
Acum trebuie neapărat să luăm în considerare exemple de varianță a unei variabile aleatoare discrete și așteptările matematice.
Să presupunem că am efectuat 21 de experimente și am obținut 7 rezultate diferite. Am observat fiecare dintre ele, respectiv, de 1, 2, 2, 3, 4, 4 și 5 ori. Care va fi variația?
În primul rând, să calculăm media aritmetică: suma elementelor, desigur, este 21. Împărțiți-o la 7, obținând 3. Acum scădem 3 din fiecare număr din succesiunea inițială, pătrați fiecare valoare și adăugați rezultatele împreună. Se dovedește 12. Acum ne rămâne să împărțim numărul la numărul de elemente și, s-ar părea, atât. Dar există o captură! Să discutăm despre asta.
Dependență de numărul de experimente
Se pare că atunci când se calculează varianța, numitorul poate fi unul dintre cele două numere: fie N, fie N-1. Aici N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care, de fapt, este același). De ce depinde?
Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem la numitor N. Dacă este în unități, atunci N-1. Oamenii de știință au decis să deseneze granița în mod destul de simbolic: astăzi trece de-a lungul numărului 30. Dacă am efectuat mai puțin de 30 de experimente, atunci vom împărți suma cu N-1, iar dacă mai mult, atunci cu N.
Sarcină
Să revenim la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor. Noia primit un număr intermediar de 12, care trebuia împărțit la N sau N-1. Deoarece am efectuat 21 de experimente, adică mai puțin de 30, vom alege a doua opțiune. Deci răspunsul este: varianța este 12 / 2=2.
Așteptări
Să trecem la al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare în acest articol. Așteptările matematice sunt rezultatul adunării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important să înțelegeți că valoarea rezultată, precum și rezultatul calculării varianței, se obține o singură dată pentru întreaga sarcină, indiferent de câte rezultate ia în considerare.
Formula de așteptare este destul de simplă: luăm un rezultat, îl înmulțim cu probabilitatea lui, adăugăm același lucru pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ce este legat de acest concept este ușor de calculat. De exemplu, suma așteptărilor matematice este egală cu așteptările matematice ale sumei. Același lucru este valabil și pentru lucrare. Nu orice mărime din teoria probabilității permite efectuarea unor astfel de operații simple. Să luăm o sarcină și să calculăm valoarea a două concepte pe care le-am studiat simultan. În plus, am fost distrași de teorie - este timpul să exersăm.
Un alt exemplu
Am efectuat 50 de încercări și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în procente diferite. Acestea sunt, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Amintiți-vă că pentru a obține probabilitățile, trebuie să împărțiți valorile procentuale la 100. Astfel, obținem 0,02; 0, 1 etc. Să reprezentăm pentru varianța unui aleatoriuexemplu de valoare și așteptări matematice de rezolvare a problemei.
Calculați media aritmetică folosind formula pe care o amintim din școala elementară: 50/10=5.
Acum, să traducem probabilitățile în numărul de rezultate „pe bucăți” pentru a fi mai ușor de numărat. Obținem 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 și 9. Scădem media aritmetică din fiecare valoare obținută, după care punem la pătrat fiecare dintre rezultatele obținute. Vedeți cum să faceți acest lucru folosind primul element ca exemplu: 1 - 5=(-4). Mai mult: (-4)(-4)=16. Pentru alte valori, faceți singur aceste operații. Dacă ați făcut totul bine, atunci după ce adăugați toate rezultatele intermediare veți obține 90.
Continuați să calculați varianța și media împărțind 90 la N. De ce alegem N și nu N-1? Așa este, pentru că numărul de experimente efectuate depășește 30. Deci: 90/10=9. Am obținut dispersia. Dacă primești un alt număr, nu dispera. Cel mai probabil, ai făcut o eroare banală în calcule. Verificați din nou ceea ce ați scris și totul va fi cu siguranță la locul lor.
În sfârșit, să ne amintim formula așteptărilor. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar răspunsul cu care puteți verifica după finalizarea tuturor procedurilor solicitate. Așteptarea va fi egală cu 5, 48. Amintim doar modul de efectuare a operațiilor, folosind exemplul primelor elemente: 00, 02 + 10, 1… și așa mai departe. După cum puteți vedea, pur și simplu înmulțim valoarea rezultatului cu probabilitatea acestuia.
Abatere
Un alt concept strâns legat de varianță și valoarea așteptată estedeviație standard. Se notează fie prin literele latine sd, fie prin literele grecești „sigma”. Acest concept arată cum, în medie, valorile se abat de la caracteristica centrală. Pentru a-i găsi valoarea, trebuie să calculați rădăcina pătrată a varianței.
Dacă construiți un grafic al unei distribuții normale și doriți să vedeți valoarea deviației standard direct pe acesta, acest lucru se poate face în mai multe etape. Luați jumătate din imagine la stânga sau la dreapta modului (valoarea centrală), trageți o perpendiculară pe axa orizontală, astfel încât zonele figurilor rezultate să fie egale. Valoarea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va fi abaterea standard.
Software
După cum puteți vedea din descrierile formulelor și exemplele prezentate, calcularea varianței și a așteptărilor matematice nu este cea mai ușoară procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, are sens să folosești programul folosit în învățământul superior – se numește „R”. Are funcții care vă permit să calculați valori pentru multe concepte din statistică și teoria probabilității.
De exemplu, definiți un vector de valori. Acest lucru se face după cum urmează: vector <-c(1, 5, 2…). Acum, când trebuie să calculați niște valori pentru acest vector, scrieți o funcție și o dați ca argument. Pentru a găsi variația, va trebui să utilizați var. Un exemplu de eautilizare: var(vector). Apoi apăsați pe „Enter” și obțineți rezultatul.
În concluzie
Varianța și așteptarea matematică sunt conceptele de bază ale teoriei probabilităților, fără de care este dificil să se calculeze ceva în viitor. În cursul principal al prelegerilor la universități, acestea sunt luate în considerare deja în primele luni de studiu a materiei. Tocmai din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să rămână în urmă în program și ulterior primesc note slabe la sfârșitul sesiunii, ceea ce îi privează de burse.
Exersează cel puțin o săptămână timp de o jumătate de oră pe zi, rezolvând probleme similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, la orice test de teorie a probabilității, veți face față exemplelor fără sfaturi străine și foi de cheat.
