Este puțin probabil ca mulți oameni să se gândească dacă este posibil să se calculeze evenimente care sunt mai mult sau mai puțin aleatorii. În termeni simpli, este realist să știm care parte a zarului din zar va cădea următoarea? Aceasta a fost întrebarea pe care și-au pus-o doi mari oameni de știință, care au pus bazele unei astfel de științe precum teoria probabilității, în care probabilitatea unui eveniment este studiată destul de amplu.
Origine
Dacă încercați să definiți un astfel de concept ca teoria probabilității, obțineți următorul lucru: aceasta este una dintre ramurile matematicii care studiază constanța evenimentelor aleatoare. Desigur, acest concept nu dezvăluie cu adevărat întreaga esență, așa că este necesar să îl luăm în considerare mai detaliat.
Aș dori să încep cu creatorii teoriei. După cum am menționat mai sus, au fost doi dintre ei, aceștia sunt Pierre Fermat și Blaise Pascal. Ei au fost printre primii care au încercat să calculeze rezultatul unui eveniment folosind formule și calcule matematice. În general, rudimentele acestei științe au apărut încă de la începutEvul mediu. La acea vreme, diverși gânditori și oameni de știință au încercat să analizeze jocurile de noroc, cum ar fi ruleta, zarurile și așa mai departe, stabilind astfel un model și un procent al unui anumit număr de cădere. Fundația a fost pusă în secolul al XVII-lea de oamenii de știință menționați mai sus.
La început, munca lor nu putea fi pusă pe seama marilor realizări în acest domeniu, deoarece tot ceea ce au făcut au fost pur și simplu fapte empirice, iar experimentele au fost stabilite vizual, fără a folosi formule. De-a lungul timpului, s-a dovedit a obține rezultate grozave, care au apărut ca urmare a observării aruncării zarurilor. Acest instrument a ajutat la obținerea primelor formule inteligibile.
Asociați
Este imposibil să nu menționăm o astfel de persoană precum Christian Huygens, în procesul de studiu a unui subiect numit „teoria probabilității” (probabilitatea unui eveniment este abordată tocmai în această știință). Această persoană este foarte interesantă. El, ca și oamenii de știință prezentați mai sus, a încercat să obțină regularitatea evenimentelor aleatorii sub formă de formule matematice. Este de remarcat că nu a făcut acest lucru împreună cu Pascal și Fermat, adică toate lucrările sale nu s-au intersectat în niciun fel cu aceste minți. Huygens a derivat conceptele de bază ale teoriei probabilităților.
Un fapt interesant este că lucrarea lui a apărut cu mult înainte de rezultatele muncii pionierilor, sau mai degrabă, cu douăzeci de ani mai devreme. Dintre conceptele desemnate, cele mai cunoscute sunt:
- conceptul de probabilitate ca mărime a șansei;
- așteptări pentru discretcazuri;
- teoreme ale înmulțirii și adunării probabilităților.
De asemenea, este imposibil să nu ne amintim de Jacob Bernoulli, care și-a adus o contribuție semnificativă la studiul problemei. Făcându-și propriile teste, independent de oricine, a reușit să prezinte o dovadă a legii numerelor mari. La rândul lor, oamenii de știință Poisson și Laplace, care au lucrat la începutul secolului al XIX-lea, au reușit să demonstreze teoremele originale. Din acest moment, teoria probabilității a început să fie folosită pentru a analiza erorile în cursul observațiilor. Nici oamenii de știință ruși, sau mai degrabă Markov, Cebyshev și Dyapunov, nu au putut ocoli această știință. Pe baza muncii făcute de marile genii, ei au fixat acest subiect ca ramură a matematicii. Aceste figuri au funcționat deja la sfârșitul secolului al XIX-lea și, datorită contribuției lor, fenomene precum:
- legea numerelor mari;
- Teoria lanțului Markov;
- teorema limitei centrale.
Așadar, cu istoria nașterii științei și cu principalii oameni care au influențat-o, totul este mai mult sau mai puțin clar. Acum este timpul să concretizăm toate faptele.
Concepte de bază
Înainte de a atinge legi și teoreme, merită să studiezi conceptele de bază ale teoriei probabilităților. Evenimentul are rolul principal în el. Acest subiect este destul de voluminos, dar fără el nu va fi posibil să înțelegeți totul.
Un eveniment în teoria probabilității este orice set de rezultate ale unui experiment. Nu există atât de multe concepte ale acestui fenomen. Deci, om de știință Lotman,lucrând în acest domeniu, a spus că în acest caz vorbim despre ceva care „s-a întâmplat, deși s-ar putea să nu se fi întâmplat.”
Evenimente aleatoare (teoria probabilității le acordă o atenție deosebită) este un concept care implică absolut orice fenomen care are capacitatea de a se produce. Sau, dimpotrivă, acest scenariu poate să nu se întâmple atunci când sunt îndeplinite multe condiții. De asemenea, merită să știți că evenimentele aleatoare sunt cele care surprind întregul volum de fenomene care au avut loc. Teoria probabilității indică faptul că toate condițiile pot fi repetate în mod constant. Conduita lor a fost numită „experiență” sau „test”.
Un anumit eveniment este unul care se va întâmpla 100% într-un anumit test. În consecință, un eveniment imposibil este unul care nu se va întâmpla.
Combinarea unei perechi de acțiuni (în mod convențional cazul A și cazul B) este un fenomen care are loc simultan. Acestea sunt desemnate ca AB.
Suma perechilor de evenimente A și B este C, cu alte cuvinte, dacă se întâmplă cel puțin unul dintre ele (A sau B), atunci se va obține C. Formula fenomenului descris se scrie după cum urmează: C=A + B.
Evenimentele disjunctive în teoria probabilității implică faptul că două cazuri se exclud reciproc. Ele nu se pot întâmpla niciodată în același timp. Evenimentele comune în teoria probabilității sunt antipodul lor. Aceasta înseamnă că, dacă s-a întâmplat A, atunci nu interferează cu B.
Evenimentele opuse (teoria probabilității le tratează în detaliu) sunt ușor de înțeles. Cel mai bine este să le faceți față în comparație. Sunt aproape la fel cași evenimente incompatibile în teoria probabilității. Dar diferența lor constă în faptul că unul dintre multele fenomene trebuie să se întâmple oricum.
Evenimentele echivalente sunt acele acțiuni, a căror posibilitate este egală. Pentru a fi mai clar, ne putem imagina aruncarea unei monede: căderea uneia dintre părțile sale este la fel de probabil să cadă și a celeil alte.
Evenimentul de bun augur este mai ușor de văzut cu un exemplu. Să presupunem că există episodul B și episodul A. Primul este aruncarea zarurilor cu apariția unui număr impar, iar al doilea este apariția numărului cinci pe zar. Apoi se dovedește că A îl favorizează pe B.
Evenimentele independente în teoria probabilității sunt proiectate doar pe două sau mai multe cazuri și implică independența oricărei acțiuni față de alta. De exemplu, A este pierderea cozilor atunci când o monedă este aruncată, iar B este extragerea unui cric de pe punte. Sunt evenimente independente în teoria probabilității. Cu acest moment a devenit mai clar.
Evenimentele dependente în teoria probabilității sunt, de asemenea, admisibile numai pentru setul lor. Ele implică dependența unuia de celăl alt, adică fenomenul B poate apărea numai dacă A s-a întâmplat deja sau, dimpotrivă, nu s-a întâmplat, când aceasta este condiția principală pentru B.
Rezultatul unui experiment aleatoriu constând dintr-o componentă este evenimente elementare. Teoria probabilității explică că acesta este un fenomen care s-a întâmplat o singură dată.
Formule de bază
Deci, conceptele de „eveniment”, „teoria probabilității”,s-a dat şi definiţia termenilor de bază ai acestei ştiinţe. Acum este timpul să faceți cunoștință directă cu formulele importante. Aceste expresii confirmă matematic toate conceptele principale dintr-un subiect atât de dificil precum teoria probabilității. Probabilitatea unui eveniment joacă un rol important și aici.
Mai bine începeți cu formulele de bază ale combinatoriei. Și înainte de a trece la ele, merită să luați în considerare ce este.
Combinatoria este în primul rând o ramură a matematicii, se ocupă cu studiul unui număr imens de numere întregi, precum și cu diverse permutări atât ale numerelor în sine, cât și ale elementelor acestora, diferite date etc., ducând la apariția o serie de combinatii. Pe lângă teoria probabilității, această ramură este importantă pentru statistică, informatică și criptografie.
Deci acum putem trece la prezentarea formulelor în sine și definirea lor.
Prima va fi expresia pentru numărul de permutări, arată astfel:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Ecuația se aplică numai dacă elementele diferă numai în ordine.
Acum va fi luată în considerare formula de plasare, arată astfel:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Această expresie se aplică nu numai ordinii elementului, ci și compoziției sale.
A treia ecuație din combinatorică, și este și ultima, se numește formula pentru numărul de combinații:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Combinațiile sunt selecții care nu sunt, respectiv, ordonate, iar această regulă se aplică acestora.
S-a dovedit a fi ușor de înțeles formulele combinatoriei, acum putem trece la definiția clasică a probabilităților. Această expresie arată astfel:
P(A)=m: n.
În această formulă, m este numărul de condiții favorabile evenimentului A și n este numărul absolut al tuturor rezultatelor la fel de posibile și elementare.
Există un număr mare de expresii, articolul nu le va acoperi pe toate, dar vor fi atinse cele mai importante dintre ele, cum ar fi, de exemplu, probabilitatea sumei evenimentelor:
P(A + B)=P(A) + P(B) - această teoremă este pentru adăugarea numai a evenimentelor incompatibile;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - iar acesta este pentru adăugarea numai a celor compatibile.
Probabilitatea de a produce evenimente:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – această teoremă este pentru evenimente independente;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - și acesta este pentru dependenți.
Formula evenimentului încheie lista. Teoria probabilității ne spune despre teorema lui Bayes, care arată astfel:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
În această formulă, H1, H2, …, H este complete group of hypotheses.
Să ne oprim aici, apoi vor fi luate în considerare exemple de aplicare a formulelor pentru a rezolva probleme specifice din practică.
Exemple
Dacă studiați cu atenție orice secțiunematematica, nu se lipseste de exercitii si solutii mostre. La fel este și teoria probabilității: evenimentele, exemplele de aici sunt o componentă integrală care confirmă calculele științifice.
Formulă pentru numărul de permutări
Să presupunem că există treizeci de cărți într-un pachet de cărți, începând cu valoarea nominală unu. Urmatoarea intrebare. Câte moduri există de a stivui pachetul astfel încât cărțile cu valoarea nominală de unu și doi să nu fie una lângă alta?
Sarcina a fost stabilită, acum să trecem la rezolvarea ei. Mai întâi trebuie să determinați numărul de permutări a treizeci de elemente, pentru aceasta luăm formula de mai sus, rezultă că P_30=30!.
Pe baza acestei reguli, vom afla câte opțiuni există pentru a plia pachetul în moduri diferite, dar trebuie să scădem din ele pe acelea în care urmează prima și a doua carte. Pentru a face acest lucru, să începem cu opțiunea când primul este deasupra celui de-al doilea. Se pare că prima carte poate ocupa douăzeci și nouă de locuri - de la prima la a douăzeci și nouă, iar a doua carte de la a doua la a treizecea, rezultă douăzeci și nouă de locuri pentru o pereche de cărți. La rândul său, restul poate ocupa douăzeci și opt de locuri și în orice ordine. Adică, pentru o permutare de douăzeci și opt de cărți, există douăzeci și opt de opțiuni P_28=28!
Ca urmare, se dovedește că dacă luăm în considerare soluția când prima carte este peste a doua, există 29 ⋅ 28 de posibilități suplimentare!=29!
Folosind aceeași metodă, trebuie să calculați numărul de opțiuni redundante pentru cazul în care primul card este sub al doilea. De asemenea, se dovedește 29 ⋅ 28!=29!
De aici rezultă că există 2 ⋅ 29 de opțiuni suplimentare!, în timp ce există 30 de moduri necesare pentru a construi un pachet! - 2 ⋅ 29!. Rămâne doar de numărat.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Acum trebuie să înmulțiți toate numerele de la unu la douăzeci și nouă împreună, apoi, la sfârșit, să înmulțiți totul cu 28. Răspunsul este 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Soluția exemplului. Formula pentru numărul de plasare
În această problemă, trebuie să aflați câte moduri există de a pune cincisprezece volume pe un raft, dar cu condiția ca în total să fie treizeci de volume.
Această problemă are o soluție puțin mai ușoară decât cea anterioară. Folosind formula deja cunoscută, este necesar să se calculeze numărul total de locații din treizeci de volume de cincisprezece.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 843204 90 204
Răspunsul, respectiv, va fi 202 843 204 931 727 360 000.
Acum să luăm sarcina un pic mai dificilă. Trebuie să aflați câte moduri există de a aranja treizeci de cărți pe două rafturi, cu condiția ca doar cincisprezece volume să poată fi pe un raft.
Înainte de a începe soluția, aș dori să clarific că unele probleme sunt rezolvate în mai multe moduri, așa că există două moduri în aceasta, dar aceeași formulă este folosită în ambele.
În această problemă, poți lua răspunsul din cea anterioară, pentru că acolo am calculat de câte ori poți umple un raft cu cincisprezece cărți pentru-diferit. S-a dovedit A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Vom calcula al doilea raft folosind formula de permutare, deoarece în el sunt plasate cincisprezece cărți, în timp ce au mai rămas doar cincisprezece. Folosiți formula P_15=15!.
Se pare că totalul va fi A_30^15 ⋅ P_15 moduri, dar, în plus, produsul tuturor numerelor de la treizeci la șaisprezece va trebui să fie înmulțit cu produsul numerelor de la unu la cincisprezece, ca ca rezultat, produsul tuturor numerelor de la unu la treizeci, deci răspunsul este 30!
Dar această problemă poate fi rezolvată într-un mod diferit - mai ușor. Pentru a face acest lucru, vă puteți imagina că există un raft pentru treizeci de cărți. Toate sunt așezate pe acest plan, dar din moment ce condiția cere să existe două rafturi, tăiem unul lung în jumătate, rezultă două câte cincisprezece fiecare. Din aceasta rezultă că opțiunile de plasare pot fi P_30=30!.
Soluția exemplului. Formula pentru numărul combinației
Acum vom lua în considerare o variantă a celei de-a treia probleme din combinatorică. Trebuie să aflați câte moduri există de a aranja cincisprezece cărți, cu condiția să alegeți dintre treizeci absolut identice.
Pentru soluție, desigur, se va aplica formula pentru numărul de combinații. Din condiție devine clar că ordinea celor cincisprezece cărți identice nu este importantă. Prin urmare, inițial trebuie să aflați numărul total de combinații de treizeci de cărți de cincisprezece.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: cincisprezece !=155 117 520
Asta este. Folosind această formulă, în cel mai scurt timp posibil a fost posibilrezolvați o astfel de problemă, răspunsul, respectiv, este 155 117 520.
Soluția exemplului. Definiția clasică a probabilității
Cu formula de mai sus, puteți găsi răspunsul la o problemă simplă. Dar vă va ajuta să vedeți vizual și să urmăriți cursul acțiunilor.
În problemă este dat că în urnă sunt zece bile absolut identice. Dintre acestea, patru sunt galbene și șase albastre. Se ia o minge din urna. Trebuie să aflați probabilitatea de a obține albastru.
Pentru a rezolva problema, este necesar să se desemneze obținerea mingii albastre drept eveniment A. Această experiență poate avea zece rezultate, care, la rândul lor, sunt elementare și la fel de probabile. Totodată, din zece, șase sunt favorabile pentru evenimentul A. Rezolvăm după formula:
P(A)=6: 10=0, 6
Aplicând această formulă, am aflat că probabilitatea de a obține mingea albastră este de 0,6.
Soluția exemplului. Probabilitatea sumei evenimentelor
Acum va fi prezentată o variantă, care se rezolvă folosind formula pentru probabilitatea sumei evenimentelor. Așadar, în condițiile în care există două cutii, prima conține o bile gri și cinci albe, iar a doua conține opt bile gri și patru albe. Drept urmare, una dintre ele a fost luată din prima și a doua casetă. Trebuie să aflați care este șansa ca bilele pe care le obțineți să fie gri și albe.
Pentru a rezolva această problemă, trebuie să etichetați evenimentele.
- Deci, A - ia o minge gri din prima casetă: P(A)=1/6.
- A’ – ia o minge albă tot din prima casetă: P(A')=5/6.
- B – mingea gri a fost deja scoasă din a doua cutie: P(B)=2/3.
- B’ – ia o minge gri din a doua casetă: P(B')=1/3.
După starea problemei, trebuie să se întâmple unul dintre fenomene: AB' sau A'B. Folosind formula, obținem: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Acum a fost folosită formula de înmulțire a probabilității. În continuare, pentru a afla răspunsul, trebuie să aplicați ecuația pentru adăugarea lor:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Iată cum, folosind formula, puteți rezolva probleme similare.
Rezultat
Articolul a oferit informații pe tema „Teoria probabilității”, în care probabilitatea unui eveniment joacă un rol crucial. Desigur, nu s-a luat în considerare totul, dar, pe baza textului prezentat, teoretic se poate face cunoștință cu această secțiune a matematicii. Știința în cauză poate fi utilă nu numai în munca profesională, ci și în viața de zi cu zi. Cu ajutorul acestuia, puteți calcula orice posibilitate a oricărui eveniment.
Textul a atins, de asemenea, date semnificative din istoria formării teoriei probabilităților ca știință și numele persoanelor ale căror lucrări au fost investite în ea. Acesta este modul în care curiozitatea umană a dus la faptul că oamenii au învățat să calculeze chiar și evenimente aleatorii. Cândva erau doar interesați de asta, dar astăzi toată lumea știe deja despre asta. Și nimeni nu va spune ce ne așteaptă în viitor, ce alte descoperiri strălucitoare legate de teoria luată în considerare se vor face. Dar un lucru este sigur - cercetarea nu sta pe loc!
