Funcția și studiul caracteristicilor sale este unul dintre capitolele cheie ale matematicii moderne. Componenta principală a oricărei funcții sunt graficele care descriu nu numai proprietățile acesteia, ci și parametrii derivatei acestei funcții. Să aruncăm o privire la acest subiect complicat. Deci, care este cel mai bun mod de a găsi punctele maxime și minime ale unei funcții?
Funcție: definiție
Orice variabilă care depinde într-un fel de valorile unei alte valori poate fi numită funcție. De exemplu, funcția f(x2) este pătratică și determină valorile pentru întreaga mulțime x. Să presupunem că x=9, atunci valoarea funcției noastre va fi egală cu 92=81.
Funcțiile vin în multe tipuri diferite: logice, vectoriale, logaritmice, trigonometrice, numerice și altele. În studiul lor au fost implicate minți remarcabile precum Lacroix, Lagrange, Leibniz și Bernoulli. Scrierile lor servesc drept bastion în modalitățile moderne de studiere a funcțiilor. Înainte de a găsi punctele minime, este foarte important să înțelegeți sensul însuși al funcției și al derivatei sale.
Derivatul și rolul său
Toate funcțiile sunt activateîn funcție de valorile lor variabile, ceea ce înseamnă că își pot schimba valoarea oricând. Pe grafic, aceasta va fi reprezentată ca o curbă care fie coboară, fie se ridică de-a lungul axei y (acesta este întregul set de numere „y” de-a lungul verticalei graficului). Și astfel definirea unui punct de maxim și minim de funcție este legată de aceste „oscilații”. Să explicăm care este această relație.
Derivata oricărei funcții este desenată pe un grafic pentru a studia principalele sale caracteristici și a calcula cât de repede se schimbă funcția (adică își schimbă valoarea în funcție de variabila „x”). În momentul în care funcția crește, graficul derivatei sale va crește și el, dar în orice secundă funcția poate începe să scadă, iar apoi graficul derivatei va scădea. Acele puncte în care derivata trece de la minus la plus se numesc puncte minime. Pentru a ști cum să găsiți punctele minime, ar trebui să înțelegeți mai bine conceptul de derivată.
Cum se calculează derivata?
Definirea și calcularea derivatei unei funcții implică mai multe concepte din calculul diferențial. În general, însăși definiția derivatei poate fi exprimată astfel: aceasta este valoarea care arată rata de modificare a funcției.
Modul matematic de a-l determina pentru mulți studenți pare complicat, dar de fapt totul este mult mai simplu. Trebuie doar să urmăreștiplan standard pentru găsirea derivatei oricărei funcții. În continuare se descrie cum puteți găsi punctul minim al unei funcții fără a aplica regulile de diferențiere și fără a memora tabelul de derivate.
- Puteți calcula derivata unei funcții folosind un grafic. Pentru a face acest lucru, trebuie să reprezentați funcția în sine, apoi să luați un punct pe ea (punctul A din Fig.) Desenați o linie vertical în jos până la axa absciselor (punctul x0) și în punctul A desenați o tangentă la graficul funcției. Axa absciselor și tangenta formează un unghi a. Pentru a calcula valoarea cât de repede crește funcția, trebuie să calculați tangenta acestui unghi a.
- Se pare că tangenta unghiului dintre tangentă și direcția axei x este derivata funcției într-o zonă mică cu punctul A. Această metodă este considerată o modalitate geometrică de a determina derivata.
Metode de cercetare a unei funcții
În programa școlară de matematică, este posibil să găsiți punctul minim al unei funcții în două moduri. Am analizat deja prima metodă folosind graficul, dar cum se determină valoarea numerică a derivatei? Pentru a face acest lucru, va trebui să învățați mai multe formule care descriu proprietățile derivatei și vă ajută să convertiți variabile precum „x” în numere. Următoarea metodă este universală, deci poate fi aplicată la aproape toate tipurile de funcții (atât geometrice, cât și logaritmice).
- Este necesar să echivalăm funcția cu funcția derivată și apoi să simplificați expresia folosind regulilediferențiere.
- împărțit la zero).
- După aceea, ar trebui să convertiți forma originală a funcției într-o ecuație simplă, echivalând întreaga expresie la zero. De exemplu, dacă funcția arată astfel: f(x)=2x3+38x, atunci, conform regulilor de diferențiere, derivata sa este egală cu f'(x)=3x 2 +1. Apoi transformăm această expresie într-o ecuație de următoarea formă: 3x2+1=0.
- După ce rezolvați ecuația și găsiți punctele „x”, ar trebui să le desenați pe axa x și să determinați dacă derivata din aceste zone dintre punctele marcate este pozitivă sau negativă. După desemnare, va deveni clar în ce moment funcția începe să scadă, adică își schimbă semnul de la minus la opus. În acest fel puteți găsi atât punctele minime, cât și cele maxime.
Reguli de diferențiere
Cea mai elementară parte a învățării unei funcții și a derivatelor acesteia este cunoașterea regulilor de diferențiere. Numai cu ajutorul lor este posibilă transformarea expresiilor greoaie și a funcțiilor complexe mari. Să facem cunoștință cu ele, sunt destul de multe, dar toate sunt foarte simple datorită proprietăților obișnuite atât ale funcțiilor de putere, cât și ale funcțiilor logaritmice.
- Derivata oricărei constante este zero (f(x)=0). Adică, derivata f(x)=x5+ x - 160 va lua următoarea formă: f' (x)=5x4+1.
- Derivata sumei a doi termeni: (f+w)'=f'w + fw'.
- Derivată a unei funcții logaritmice: (logad)'=d/ln ad. Această formulă se aplică tuturor tipurilor de logaritmi.
- Derivată de grad: (x)'=nxn-1. De exemplu, (9x2)'=92x=18x.
- Derivata unei functii sinusoidale: (sin a)'=cos a. Dacă sinul unghiului a este 0,5, atunci derivata sa este √3/2.
puncte extreme
Ne-am dat deja seama cum să găsim punctele minime, totuși, există conceptul de puncte maxime ale unei funcții. Dacă minimul denotă acele puncte în care funcția trece de la minus la plus, atunci punctele maxime sunt acele puncte de pe axa x la care derivata funcției se schimbă de la plus la opus - minus.
Puteți găsi punctele maxime folosind metoda descrisă mai sus, doar că trebuie luat în considerare faptul că acestea denotă acele zone în care funcția începe să scadă, adică derivata va fi mai mică decât zero.
În matematică, se obișnuiește să se generalizeze ambele concepte, înlocuindu-le cu sintagma „puncte extreme”. Când sarcina solicită determinarea acestor puncte, aceasta înseamnă că este necesar să se calculeze derivata acestei funcții și să se găsească punctele minime și maxime.
