Abilitatea de a lucra cu expresii numerice care conțin o rădăcină pătrată este necesară pentru rezolvarea cu succes a unui număr de probleme din OGE și USE. În aceste examene, o înțelegere de bază a ce este extracția rădăcinilor și a modului în care se face în practică este de obicei suficientă.
Definiție
Rădăcina a n-a a unui număr X este un număr x pentru care egalitatea este adevărată: xn =X.
Găsirea valorii unei expresii cu rădăcină înseamnă a găsi x dat X și n.
Rădăcina pătrată sau, care este aceeași, a doua rădăcină a lui X - numărul x pentru care este satisfăcută egalitatea: x2 =X.
Desemnare: ∛Х. Aici 3 este gradul rădăcinii, X este expresia rădăcinii. Semnul „√” este adesea numit radical.
Dacă numărul de deasupra rădăcinii nu indică gradul, atunci valoarea implicită este gradul de 2.
Într-un curs școlar pentru grade egale, rădăcinile negative și expresiile radicale nu sunt de obicei luate în considerare. De exemplu, nu există√-2, iar pentru expresia √4, răspunsul corect este 2, în ciuda faptului că (-2)2 este, de asemenea, egal cu 4.
Raționalitatea și iraționalitatea rădăcinilor
Cea mai simplă sarcină posibilă cu o rădăcină este să găsești valoarea unei expresii sau să o testezi pentru raționalitate.
De exemplu, calculați valorile √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 deoarece 52 =25;
- ∛8=2 deoarece 23 =8;
- ∛ - 125=-5 deoarece (-5)3 =-125.
Răspunsurile din exemplele date sunt numere raționale.
Când lucrați cu expresii care nu conțin constante și variabile literale, este recomandat să efectuați întotdeauna o astfel de verificare folosind operația inversă de ridicare la o putere naturală. Găsirea numărului x la a n-a putere este echivalentă cu calcularea produsului n factori ai lui x.
Există multe expresii cu rădăcină, a căror valoare este irațională, adică scrisă ca o fracție neperiodică infinită.
Prin definiție, raționalele sunt cele care pot fi exprimate ca o fracție comună, iar iraționalele sunt toate celel alte numere reale.
Acestea includ √24, √0, 1, √101.
Dacă cartea de probleme spune: găsiți valoarea expresiei cu rădăcină de 2, 3, 5, 6, 7 etc., adică din acele numere naturale care nu sunt cuprinse în tabelul de pătrate, atunci răspunsul corect este √ 2 poate fi prezent (dacă nu se specifică altfel).
Evaluare
În probleme cuun răspuns deschis, dacă este imposibil să găsiți valoarea unei expresii cu rădăcină și să o scrieți ca număr rațional, rezultatul trebuie lăsat ca un radical.
Unele teme pot necesita evaluare. De exemplu, comparați 6 și √37. Soluția necesită pătrarea ambelor numere și compararea rezultatelor. Dintre două numere, cel al cărui pătrat este mai mare este mai mare. Această regulă funcționează pentru toate numerele pozitive:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- înseamnă √37 > 6.
În același mod, se rezolvă probleme în care mai multe numere trebuie aranjate în ordine crescătoare sau descrescătoare.
Exemplu: aranjați 5, √6, √48, √√64 în ordine crescătoare.
După pătrat, avem: 25, 6, 48, √64. S-ar putea pătra din nou toate numerele pentru a le compara cu √64, dar este egal cu numărul rațional 8. 6 < 8 < 25 < 48, deci soluția este: 48.
Simplificarea expresiei
Se întâmplă că este imposibil să găsești valoarea unei expresii cu rădăcină, așa că trebuie simplificată. Următoarea formulă ajută în acest sens:
√ab=√a√b.
Rădăcina produsului a două numere este egală cu produsul rădăcinilor lor. Această operație va necesita, de asemenea, capacitatea de a factoriza un număr.
În stadiul inițial, pentru a accelera munca, se recomandă să aveți la îndemână un tabel cu numere prime și pătrate. Aceste mese cu frecventeutilizarea în viitor va fi reținută.
De exemplu, √242 este un număr irațional, îl puteți converti astfel:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
De obicei, rezultatul este scris ca 11√2 (a se citi: unsprezece rădăcini din două).
Dacă este dificil să vedeți imediat în ce doi factori trebuie descompus un număr, astfel încât o rădăcină naturală să poată fi extrasă dintr-unul dintre ei, puteți utiliza descompunerea completă în factori primi. Dacă același număr prim apare de două ori în expansiune, acesta este scos din semnul rădăcinii. Când există mulți factori, puteți extrage rădăcina în mai mulți pași.
Exemplu: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Numărul 2 apare în expansiune de 2 ori (de fapt, de mai mult de două ori, dar suntem încă interesați de primele două apariții din expansiune).
O scoatem de sub semnul rădăcinii:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Repetați aceeași acțiune:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
În expresia radicală rămasă, 2 și 3 apar o dată, așa că rămâne să eliminați factorul 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
și efectuați operații aritmetice:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Deci, obținem √2400=20√6.
Dacă sarcina nu precizează în mod explicit: „găsiți valoarea expresiei cu rădăcină pătrată”, atunci alegerea,sub ce formă să lăsați răspunsul (dacă să extrageți rădăcina de sub radical) rămâne cu elevul și poate depinde de problema rezolvată.
La început, sunt impuse cerințe ridicate privind proiectarea sarcinilor, calculul, inclusiv oral sau scris, fără utilizarea mijloacelor tehnice.
Numai după o bună stăpânire a regulilor de lucru cu expresii numerice iraționale, are sens să trecem la expresii literale mai dificile și la rezolvarea ecuațiilor iraționale și la calcularea intervalului de valori posibile ale expresiei sub radical.
Studenții întâmpină acest tip de problemă la Examenul de stat unificat la matematică, precum și în primul an de universități de specialitate atunci când studiază analiza matematică și disciplinele conexe.
