Studiul funcțiilor și graficele acestora este un subiect căruia i se acordă o atenție deosebită în cadrul programului de liceu. Câteva elemente de bază ale analizei matematice – diferențierea – sunt incluse în nivelul de profil al examenului la matematică. Unii școlari au probleme cu acest subiect, deoarece confundă graficele funcției cu derivata și uită, de asemenea, algoritmii. Acest articol va acoperi principalele tipuri de sarcini și cum să le rezolvați.
Care este valoarea funcției?
O funcție matematică este o ecuație specială. Stabilește o relație între numere. Funcția depinde de valoarea argumentului.
Valoarea funcției este calculată conform formulei date. Pentru a face acest lucru, înlocuiți orice argument care corespunde intervalului de valori valide din această formulă în locul lui x și efectuați operațiile matematice necesare. Ce?
Cum puteți găsi cea mai mică valoare a unei funcții,folosind o funcție grafică?
Reprezentarea grafică a dependenței unei funcții de un argument se numește grafic de funcție. Este construit pe un plan cu un anumit segment de unitate, unde valoarea unei variabile sau a unui argument este trasată de-a lungul axei absciselor orizontale, iar valoarea funcției corespunzătoare de-a lungul axei ordonatelor verticale.
Cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât acesta se află mai în dreapta pe grafic. Și cu cât valoarea funcției în sine este mai mare, cu atât punctul este mai mare.
Ce spune asta? Cea mai mică valoare a funcției va fi punctul care se află cel mai jos pe grafic. Pentru a-l găsi într-un segment de diagramă, aveți nevoie de:
1) Găsiți și marcați capetele acestui segment.
2) Stabiliți vizual care punct de pe acest segment este cel mai jos.
3) Ca răspuns, notați valoarea sa numerică, care poate fi determinată prin proiectarea unui punct pe axa y.
Puncte extreme pe graficul derivat. Unde să cauți?
Cu toate acestea, la rezolvarea problemelor, uneori un grafic este dat nu al unei funcții, ci al derivatei acesteia. Pentru a evita o greșeală stupidă din greșeală, este mai bine să citiți cu atenție condițiile, deoarece depinde de unde trebuie să căutați punctele extremum.
Deci, derivata este rata instantanee de creștere a funcției. Conform definiției geometrice, derivata corespunde pantei tangentei, care este trasată direct la punctul dat.
Se știe că la punctele extreme tangenta este paralelă cu axa Ox. Aceasta înseamnă că panta sa este 0.
De aici putem concluziona că la punctele extreme derivata se află pe axa x sau dispare. Dar în plus, în aceste puncte, funcția își schimbă direcția. Adică, după o perioadă de creștere, începe să scadă, iar derivata, în consecință, se schimbă de la pozitiv la negativ. Sau invers.
Dacă derivata devine negativă din pozitivă, acesta este punctul maxim. Dacă de la negativ devine pozitiv - punctul minim.
Important: dacă trebuie să specificați un punct minim sau maxim în sarcină, atunci ca răspuns ar trebui să scrieți valoarea corespunzătoare de-a lungul axei absciselor. Dar dacă trebuie să găsiți valoarea funcției, atunci trebuie mai întâi să înlocuiți valoarea corespunzătoare a argumentului în funcție și să o calculați.
Cum se găsesc puncte extreme folosind derivate?
Exemplele luate în considerare se referă în principal la sarcina numărul 7 a examenului, care implică lucrul cu un grafic al unei derivate sau al unei antiderivate. Dar sarcina 12 din USE - pentru a găsi cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment (uneori cea mai mare) - este efectuată fără desene și necesită abilități de bază în analiză matematică.
Pentru a o efectua, trebuie să puteți găsi puncte extreme folosind derivata. Algoritmul pentru găsirea acestora este următorul:
- Găsiți derivata unei funcții.
- Setați-l la zero.
- Găsiți rădăcinile ecuației.
- Verificați dacă punctele obținute sunt puncte extreme sau de inflexiune.
Pentru a face acest lucru, desenați o diagramă și mai departeintervalele rezultate determină semnele derivatei prin substituirea numerelor aparţinând segmentelor în derivată. Dacă, atunci când rezolvați ecuația, aveți rădăcini de multiplicitate dublă, acestea sunt puncte de inflexiune.
Aplicând teoremele, determinați care puncte sunt minime și care sunt maxime
Calculează cea mai mică valoare a unei funcții folosind o derivată
Totuși, după efectuarea tuturor acestor acțiuni, vom găsi valorile punctelor minime și maxime de-a lungul axei x. Dar cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment?
Ce trebuie făcut pentru a găsi numărul care corespunde funcției într-un anumit punct? Trebuie să înlocuiți valoarea argumentului în această formulă.
Punctele de minim și maxim corespund celei mai mici și mai mari valori a funcției de pe segment. Deci, pentru a găsi valoarea funcției, trebuie să calculați funcția folosind valorile x obținute.
Important! Dacă sarcina necesită să specificați un punct minim sau maxim, atunci ca răspuns ar trebui să scrieți valoarea corespunzătoare de-a lungul axei x. Dar dacă trebuie să găsiți valoarea funcției, atunci trebuie mai întâi să înlocuiți valoarea corespunzătoare a argumentului în funcție și să efectuați operațiile matematice necesare.
Ce ar trebui să fac dacă nu există minime pe acest segment?
Dar cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment fără puncte extreme?
Aceasta înseamnă că funcția scade sau crește monoton pe ea. Apoi, trebuie să înlocuiți valoarea punctelor extreme ale acestui segment în funcție. Există două moduri.
1) După ce am calculatderivată și intervalele la care este pozitivă sau negativă, pentru a concluziona dacă funcția este în scădere sau în creștere pe un anumit segment.
În conformitate cu acestea, înlocuiți o valoare mai mare sau mai mică a argumentului în funcție.
2) Pur și simplu înlocuiți ambele puncte în funcție și comparați valorile funcției rezultate.
În ce sarcini găsirea derivatului este opțional
De regulă, în sarcinile USE, mai trebuie să găsiți derivatul. Există doar câteva excepții.
1) Parabola.
Vârful parabolei se găsește prin formula.
Dacă < 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Și vârful său este punctul maxim.
Dacă > 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, vârful este punctul minim.
După ce ați calculat punctul de vârf al parabolei, ar trebui să înlocuiți valoarea acesteia în funcție și să calculați valoarea corespunzătoare a funcției.
2) Funcția y=tg x. Sau y=ctg x.
Aceste funcții cresc monoton. Prin urmare, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției în sine este mai mare. În continuare, ne vom uita la cum să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment cu exemple.
Tipuri principale de sarcini
Task: valoarea cea mai mare sau cea mai mică a funcției. Exemplu pe grafic.
În imagine vedeți graficul derivatei funcției f (x) pe intervalul [-6; 6]. În ce punct al segmentului [-3; 3] f(x) ia cea mai mică valoare?
Deci, pentru început, ar trebui să selectați segmentul specificat. Pe ea, funcția ia o dată o valoare zero și își schimbă semnul - acesta este punctul extremum. Deoarece derivata din negativ devine pozitivă, înseamnă că acesta este punctul minim al funcției. Acest punct corespunde valorii argumentului 2.
Răspuns: 2.
Continuați să vă uitați la exemple. Sarcină: găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe segment.
Găsiți cea mai mică valoare a funcției y=(x - 8) ex-7 pe intervalul [6; 8].
1. Luați derivata unei funcții complexe.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Echivalează derivata rezultată cu zero și rezolvă ecuația.
y” (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 sau ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, fără rădăcini
3. Înlocuiți valoarea punctelor extreme în funcție, precum și rădăcinile obținute ale ecuației.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Răspuns: -1.
Deci, în acest articol, a fost luată în considerare teoria principală cu privire la modul de a găsi cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment, care este necesară pentru rezolvarea cu succes a sarcinilor USE în matematică de specialitate. De asemenea, elemente de matematicăanalizele sunt folosite la rezolvarea sarcinilor din partea C a examenului, dar evident că acestea reprezintă un alt nivel de complexitate, iar algoritmii pentru soluțiile lor sunt greu de încadrat în cadrul unui material.
