În acest articol, metoda este considerată o modalitate de a rezolva sistemele de ecuații liniare (SLAE). Metoda este analitică, adică vă permite să scrieți un algoritm de soluție generală și apoi să înlocuiți valori din exemple specifice acolo. Spre deosebire de metoda matricei sau formulele lui Cramer, atunci când rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, puteți lucra și cu cele care au infinit de soluții. Sau nu-l ai deloc.
Ce înseamnă să rezolvi prin metoda Gauss?
În primul rând, trebuie să scriem sistemul nostru de ecuații ca o matrice. Arata cam asa. Sistemul este luat:
Coeficienții sunt scrieți sub formă de tabel, iar în dreapta într-o coloană separată - membri liberi. Coloana cu membri liberi este separată pentru comoditate printr-o bară verticală. O matrice care include această coloană se numește extinsă.
În continuare, matricea principală cu coeficienți trebuie redusă la forma triunghiulară superioară. Acesta este punctul principal de rezolvare a sistemului prin metoda Gauss. Pur și simplu, după anumite manipulări, matricea ar trebui să arate așa, astfel încât să existe doar zerouri în partea sa din stânga jos:
Atunci, dacă scrieți din nou noua matrice ca sistem de ecuații, veți observa că ultima linie conține deja valoarea uneia dintre rădăcini, care este apoi înlocuită în ecuația de mai sus, se găsește o altă rădăcină., și așa mai departe.
Aceasta este o descriere a soluției gaussiene în termenii cei mai generali. Și ce se întâmplă dacă dintr-o dată sistemul nu are o soluție? Sau există un număr infinit dintre ele? Pentru a răspunde la aceste întrebări și la multe altele, este necesar să luăm în considerare separat toate elementele utilizate în soluție prin metoda Gauss.
Matrici, proprietățile lor
Nu există niciun sens ascuns în matrice. Este doar o modalitate convenabilă de a înregistra date pentru operațiuni ulterioare. Nici măcar școlarii nu ar trebui să se teamă de ei.
Matricea este întotdeauna dreptunghiulară pentru că este mai convenabilă. Chiar și în metoda Gauss, unde totul se rezumă la construirea unei matrice triunghiulare, în intrare apare un dreptunghi, doar cu zerouri în locul în care nu există numere. Zerourile pot fi omise, dar sunt implicite.
Matrix are dimensiune. „Lățimea” sa este numărul de rânduri (m), „lungimea” este numărul de coloane (n). Apoi dimensiunea matricei A (litere mari majuscule latine sunt de obicei folosite pentru desemnarea lor) va fi notată ca Am×n. Dacă m=n, atunci această matrice este pătrată șim=n - ordinea sa. În consecință, orice element al matricei A poate fi notat cu numărul rândului și coloanei sale: axy; x - numărul rândului, modificarea [1, m], y - numărul coloanei, modificarea [1, n].
În metoda gaussiană, matricele nu sunt punctul principal al soluției. În principiu, toate operațiile pot fi efectuate direct cu ecuațiile în sine, cu toate acestea, notația va fi mult mai greoaie și va fi mult mai ușor să vă confundați în ea.
Calificare
Matricea are și un determinant. Aceasta este o caracteristică foarte importantă. Aflarea semnificației sale acum nu merită, puteți pur și simplu să arătați cum este calculată și apoi să spuneți ce proprietăți ale matricei determină. Cel mai simplu mod de a găsi determinantul este prin diagonale. Diagonalele imaginare sunt desenate în matrice; se înmulțesc elementele situate pe fiecare dintre ele, iar apoi se adaugă produsele rezultate: diagonale cu pantă la dreapta - cu semn „plus”, cu pantă la stânga - cu semn „minus”.
Este extrem de important de reținut că determinantul poate fi calculat doar pentru o matrice pătrată. Pentru o matrice dreptunghiulară, puteți face următoarele: alegeți cel mai mic dintre numărul de rânduri și numărul de coloane (fie k), apoi marcați aleatoriu k coloane și k rânduri în matrice. Elementele situate la intersecția coloanelor și rândurilor selectate vor forma o nouă matrice pătrată. Dacă determinantul unei astfel de matrice este un număr altul decât zero, atunci acesta va fi numit minorul de bază al matricei dreptunghiulare inițiale.
Înaintecum să începi să rezolvi un sistem de ecuații prin metoda Gauss, nu strica să calculezi determinantul. Dacă se dovedește a fi zero, atunci putem spune imediat că matricea are fie un număr infinit de soluții, fie nu există deloc. Într-un caz atât de trist, trebuie să mergeți mai departe și să aflați despre rangul matricei.
Clasificarea sistemelor
Există rangul unei matrice. Aceasta este ordinea maximă a determinantului său diferit de zero (amintindu-ne baza minoră, putem spune că rangul unei matrice este ordinea bazei minore).
Așa cum stau lucrurile cu rangul, SLOW poate fi împărțit în:
- Joint. Pentru sistemele în comun, rangul matricei principale (formată doar din coeficienți) coincide cu rangul celei extinse (cu o coloană de termeni liberi). Astfel de sisteme au o soluție, dar nu neapărat una, prin urmare, sistemele de îmbinare sunt împărțite suplimentar în:
- - cert - având o soluție unică. În anumite sisteme, rangul matricei și numărul de necunoscute sunt egale (sau numărul de coloane, care este același lucru);
- - nedefinit - cu un număr infinit de soluții. Rangul matricelor în astfel de sisteme este mai mic decât numărul de necunoscute.
- Incompatibil. Pentru astfel de sisteme, rangurile matricelor principale și extinse nu se potrivesc. Sistemele incompatibile nu au nicio soluție.
Metoda Gauss este bună pentru că vă permite să obțineți fie o demonstrație clară a inconsecvenței sistemului (fără a calcula determinanții matricilor mari), fie o soluție generală pentru un sistem cu un număr infinit de soluții.
Transformări elementare
Înaintecum să procedați direct la soluția sistemului, o puteți face mai puțin greoaie și mai convenabilă pentru calcule. Acest lucru se realizează prin transformări elementare - astfel încât implementarea lor să nu schimbe în niciun fel răspunsul final. Trebuie remarcat faptul că unele dintre transformările elementare de mai sus sunt valabile doar pentru matrici, a căror sursă a fost tocmai SLAE. Iată o listă cu aceste transformări:
- Schimbați șirurile. Este evident că dacă schimbăm ordinea ecuațiilor din înregistrarea sistemului, atunci acest lucru nu va afecta soluția în niciun fel. Prin urmare, este și posibilă schimbarea rândurilor din matricea acestui sistem, fără a uita, bineînțeles, de coloana de membri liberi.
- Înmulțirea tuturor elementelor unui șir cu un anumit factor. Foarte util! Cu el, puteți reduce numerele mari din matrice sau puteți elimina zerouri. Setul de soluții, ca de obicei, nu se va schimba și va deveni mai convenabil să efectuați operațiuni ulterioare. Principalul lucru este ca coeficientul să nu fie egal cu zero.
- Șterge liniile cu coeficienți proporționali. Aceasta rezultă parțial din paragraful anterior. Dacă două sau mai multe rânduri din matrice au coeficienți proporționali, atunci la înmulțirea / împărțirea unuia dintre rânduri cu coeficientul de proporționalitate se obțin două (sau, din nou, mai multe) rânduri absolut identice și le puteți elimina pe cele suplimentare, lăsând doar unu.
- Ștergeți linia nulă. Dacă în cursul transformărilor se obține un șir undeva în care toate elementele, inclusiv membrul liber, sunt zero, atunci un astfel de șir poate fi numit zero și aruncat din matrice.
- Adăugarea la elementele unui rând de elemente ale altuia (conformcoloane corespunzătoare) înmulțit cu un coeficient. Cea mai obscură și mai importantă transformare dintre toate. Merită să insistăm asupra ei mai detaliat.
Adăugarea unui șir înmulțit cu un factor
Pentru o înțelegere ușoară, merită să dezasamblați acest proces pas cu pas. Două rânduri sunt luate din matrice:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Să presupunem că trebuie să-l adunați pe primul înmulțit cu coeficientul „-2” la al doilea.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Apoi al doilea rând din matrice este înlocuit cu unul nou, în timp ce primul rămâne neschimbat.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
De remarcat că factorul de înmulțire poate fi ales în așa fel încât, ca urmare a adunării a două șiruri, unul dintre elementele noului șir să fie egal cu zero. Prin urmare, este posibil să se obțină o ecuație în sistem, unde va exista una mai puțin necunoscută. Și dacă obțineți două astfel de ecuații, atunci operația poate fi făcută din nou și obțineți o ecuație care va conține deja două necunoscute mai puțin. Și dacă de fiecare dată când trecem la zero, un coeficient pentru toate rândurile care sunt mai mici decât cel inițial, atunci putem, ca niște pași, să coborâm în partea de jos a matricei și să obținem o ecuație cu o necunoscută. Aceasta se numeșterezolvați sistemul folosind metoda Gauss.
În general
Să existe un sistem. Are m ecuații și n rădăcini necunoscute. Puteți scrie astfel:
Matricea principală este compilată din coeficienții sistemului. O coloană de membri liberi este adăugată la matricea extinsă și separate printr-o bară pentru comoditate.
Următorul:
- primul rând al matricei este înmulțit cu coeficientul k=(-a21/a11);
- se adaugă primul rând modificat și al doilea rând al matricei;
- în locul celui de-al doilea rând, rezultatul adunării din paragraful anterior este inserat în matrice;
- acum, primul coeficient din noua linie a doua este a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Acum se efectuează aceeași serie de transformări, fiind implicate doar prima și a treia linie. În consecință, în fiecare pas al algoritmului, elementul a21 este înlocuit cu a31. Apoi totul se repetă pentru a41, … am1. Rezultatul este o matrice în care primul element din rândurile [2, m] este egal cu zero. Acum trebuie să uitați de linia numărul unu și să efectuați același algoritm începând de la a doua linie:
- k coeficient=(-a32/a22);
- a doua linie modificată este adăugată la linia „actuală”;
- rezultatul adunării este înlocuit în rândurile a treia, a patra și așa mai departe, în timp ce prima și a doua rămân neschimbate;
- în rândurile [3, m] ale matricei, primele două elemente sunt deja egale cu zero.
Algoritmul trebuie repetat până când apare coeficientul k=(-am, m-1/amm). Aceasta înseamnă că algoritmul a fost rulat ultima dată numai pentru ecuația inferioară. Acum matricea arată ca un triunghi sau are o formă în trepte. Linia de jos conține ecuația amn × x =bm. Se cunosc coeficientul și termenul liber, iar rădăcina se exprimă prin ele: x =bm/amn. Rădăcina rezultată este înlocuită în rândul de sus pentru a găsi xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. Și așa mai departe prin analogie: în fiecare linie următoare există o nouă rădăcină și, după ce a ajuns „în partea de sus” a sistemului, se poate găsi un set de soluții [x1, … x ]. Va fi singurul.
Când nu există soluții
Dacă într-unul dintre rândurile matricei toate elementele, cu excepția termenului liber, sunt egale cu zero, atunci ecuația corespunzătoare acestui rând arată ca 0=b. Nu are solutie. Și din moment ce o astfel de ecuație este inclusă în sistem, atunci mulțimea de soluții a întregului sistem este goală, adică este degenerată.
Când există un număr infinit de soluții
Se poate dovedi că în matricea triunghiulară redusă nu există rânduri cu un element - coeficientul ecuației și unul - un membru liber. Există doar șiruri care, atunci când sunt rescrise, ar arăta ca o ecuație cu două sau mai multe variabile. Aceasta înseamnă că sistemul are un număr infinit de soluții. În acest caz, răspunsul poate fi dat sub forma unei soluții generale. Cum se face?
Toatevariabilele din matrice sunt împărțite în de bază și libere. De bază - acestea sunt cele care stau „pe marginea” rândurilor din matricea în trepte. Restul sunt gratuite. În soluția generală, variabilele de bază sunt scrise în termenii celor libere.
Pentru comoditate, matricea este mai întâi rescrisă înapoi într-un sistem de ecuații. Apoi, în ultima dintre ele, unde a rămas doar o variabilă de bază, aceasta rămâne pe o parte, iar totul este transferat pe ceal altă. Acest lucru se face pentru fiecare ecuație cu o variabilă de bază. Apoi, în restul ecuațiilor, acolo unde este posibil, în locul variabilei de bază, se înlocuiește expresia obținută pentru aceasta. Dacă rezultatul este din nou o expresie care conține o singură variabilă de bază, aceasta este exprimată din nou de acolo și așa mai departe, până când fiecare variabilă de bază este scrisă ca o expresie cu variabile libere. Aceasta este soluția generală a SLAE.
De asemenea, puteți găsi soluția de bază a sistemului - dați variabilelor libere orice valoare și apoi calculați valorile variabilelor de bază pentru acest caz particular. Există o infinitate de soluții speciale.
Soluție cu exemple specifice
Iată un sistem de ecuații.
Pentru comoditate, este mai bine să-i creați matricea imediat
Se știe că la rezolvarea prin metoda Gauss, ecuația corespunzătoare primului rând va rămâne neschimbată la sfârșitul transformărilor. Prin urmare, va fi mai profitabil dacă elementul din stânga sus al matricei este cel mai mic - apoi primele elementerestul rândurilor după operații se vor transforma la zero. Aceasta înseamnă că în matricea compilată va fi benefic să puneți al doilea rând în locul primului.
În continuare, trebuie să modificați a doua și a treia linie, astfel încât primele elemente să devină zero. Pentru a face acest lucru, adăugați-le la primul, înmulțit cu un coeficient:
a doua linie: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
a treia linie: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Acum, pentru a nu fi confuz, trebuie să scrieți o matrice cu rezultate intermediare ale transformărilor.
Evident că o astfel de matrice poate fi făcută mai lizibilă cu ajutorul unor operații. De exemplu, puteți elimina toate „minusurile” din a doua linie înmulțind fiecare element cu „-1”.
De asemenea, merită remarcat faptul că în a treia linie toate elementele sunt multipli de trei. Atunci potităiați șirul cu acest număr, înmulțind fiecare element cu „-1/3” (minus - în același timp pentru a elimina valorile negative).
Arata mult mai frumos. Acum trebuie să lăsăm în pace prima linie și să lucrăm cu a doua și a treia. Sarcina este să adăugați al doilea rând la al treilea rând, înmulțit cu un astfel de factor încât elementul a32 să devină zero.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (dacă în timpul unor transformări în răspunsul s-a dovedit a nu fi un număr întreg, se recomandă să-l lăsați „ca atare”, sub forma unei fracții obișnuite și abia apoi, când sunt primite răspunsurile, decideți dacă să rotunjiți și să convertiți la o altă formă de notație)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matricea este scrisă din nou cu valori noi.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
După cum puteți vedea, matricea rezultată are deja o formă în trepte. Prin urmare, nu sunt necesare transformări suplimentare ale sistemului prin metoda Gauss. Ceea ce se poate face aici este să eliminați coeficientul general „-1/7” de pe a treia linie.
Acum toată lumeaGrozav. Punctul este mic - scrieți din nou matricea sub forma unui sistem de ecuații și calculați rădăcinile
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritmul prin care vor fi găsite acum rădăcinile se numește mișcare inversă în metoda Gauss. Ecuația (3) conține valoarea z:
z=61/9
În continuare, reveniți la a doua ecuație:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Și prima ecuație vă permite să găsiți x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Avem dreptul să numim un astfel de sistem comun, și chiar definitiv, adică să avem o soluție unică. Răspunsul este scris în următoarea formă:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Exemplu de sistem nedefinit
S-a analizat varianta de rezolvare a unui anumit sistem prin metoda Gauss, acum este necesar să luăm în considerare cazul în care sistemul este nedefinit, adică se pot găsi infinitate soluții pentru acesta.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Forma însăși a sistemului este deja alarmantă, deoarece numărul de necunoscute este n=5, iar rangul matricei sistemului este deja exact mai mic decât acest număr, deoarece numărul de rânduri este m=4, adică cel mai mare ordin al determinantului pătratului este 4. Deci,Există un număr infinit de soluții și trebuie să căutăm forma lui generală. Metoda Gauss pentru ecuații liniare vă permite să faceți acest lucru.
Mai întâi, ca de obicei, matricea augmentată este compilată.
A doua linie: coeficient k=(-a21/a11)=-3. În a treia linie, primul element este înaintea transformărilor, deci nu trebuie să atingeți nimic, trebuie să îl lăsați așa cum este. A patra linie: k=(-a41/a11)=-5
Înmulțind pe rând elementele primului rând cu fiecare dintre coeficienții lor și adăugându-le la rândurile necesare, obținem o matrice de următoarea formă:
După cum puteți vedea, al doilea, al treilea și al patrulea rând sunt formați din elemente proporționale între ele. Al doilea și al patrulea sunt în general aceleași, așa că unul dintre ele poate fi eliminat imediat, iar restul înmulțit cu coeficientul „-1” și obțineți linia numărul 3. Și din nou, lăsați una dintre cele două linii identice.
Rezultatul este o astfel de matrice. Sistemul nu a fost încă notat, aici este necesar să se determine variabilele de bază - situându-se la coeficienții a11=1 și a22=1 și gratuit - toate celel alte.
Există o singură variabilă de bază în a doua ecuație - x2. Prin urmare, poate fi exprimat de acolo, scriind prin variabilele x3, x4, x5, care sunt gratuite.
Înlocuiți expresia rezultată în prima ecuație.
S-a dovedit o ecuație în caresingura variabilă de bază este x1. Să facem la fel ca și cu x2.
Toate variabilele de bază, dintre care sunt două, sunt exprimate în termeni de trei libere, acum puteți scrie răspunsul în formă generală.
De asemenea, puteți specifica una dintre soluțiile particulare ale sistemului. Pentru astfel de cazuri, de regulă, zerourile sunt alese ca valori pentru variabilele libere. Atunci răspunsul va fi:
-16, 23, 0, 0, 0.
Un exemplu de sistem inconsecvent
Rezolvarea sistemelor inconsistente de ecuații prin metoda Gauss este cea mai rapidă. Se termină de îndată ce la una dintre etape se obține o ecuație care nu are soluție. Adică, etapa cu calculul rădăcinilor, care este destul de lungă și tristă, dispare. Se ia în considerare următorul sistem:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Ca de obicei, matricea este compilată:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Și redus la o formă în trepte:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
După prima transformare, a treia linie conține o ecuație de forma
0=7, nici o soluție. Prin urmare, sistemuleste inconsecvent, iar răspunsul este setul gol.
Avantajele și dezavantajele metodei
Dacă alegi ce metodă să rezolvi SLAE pe hârtie cu un stilou, atunci metoda care a fost luată în considerare în acest articol arată cea mai atractivă. În transformările elementare, este mult mai dificil să fii confuz decât se întâmplă dacă trebuie să cauți manual determinantul sau o matrice inversă complicată. Cu toate acestea, dacă utilizați programe pentru lucrul cu date de acest tip, de exemplu, foi de calcul, atunci se dovedește că astfel de programe conțin deja algoritmi pentru calcularea parametrilor principali ai matricelor - determinantul, minorii, matricele inverse și transpuse și așa mai departe. Și dacă sunteți sigur că mașina va calcula singură aceste valori și nu va greși, este mai convenabil să utilizați metoda matricei sau formulele lui Cramer, deoarece aplicarea lor începe și se termină cu calcularea determinanților și a matricelor inverse.
Aplicație
Deoarece soluția gaussiană este un algoritm, iar matricea este, de fapt, o matrice bidimensională, poate fi folosită în programare. Dar, din moment ce articolul se poziționează ca un ghid „pentru manechin”, trebuie spus că cel mai ușor loc în care să introduci metoda este foile de calcul, de exemplu, Excel. Din nou, orice SLAE introdus într-un tabel sub forma unei matrice va fi considerat de Excel ca o matrice bidimensională. Iar pentru operații cu ele, există multe comenzi drăguțe: adunare (puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune!), Înmulțire cu un număr, înmulțire matrice (tot cuanumite restricții), găsirea matricelor inverse și transpuse și, cel mai important, calcularea determinantului. Dacă această sarcină consumatoare de timp este înlocuită cu o singură comandă, este mult mai rapid să determinați rangul unei matrice și, prin urmare, să stabiliți compatibilitatea sau inconsecvența acesteia.
