Matrice: metoda Gauss. Calcularea matricei Gauss: Exemple

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 05:39

Algebra liniară, care este predată în universități în diverse specialități, combină multe subiecte complexe. Unele dintre ele sunt legate de matrice, precum și de rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metodele Gauss și Gauss-Jordan. Nu toți elevii reușesc să înțeleagă aceste subiecte, algoritmi de rezolvare a diverselor probleme. Să înțelegem împreună matricele și metodele lui Gauss și Gauss-Iordan.

Concepte de bază

O matrice în algebră liniară este o matrice dreptunghiulară de elemente (tabel). Mai jos sunt seturi de elemente cuprinse între paranteze. Acestea sunt matrici. Din exemplul de mai sus, se poate observa că elementele din matrice dreptunghiulare nu sunt doar numere. Matricea poate consta din funcții matematice, simboluri algebrice.

Pentru a înțelege unele concepte, să facem o matrice A din elementele a_ij. Indicii nu sunt doar litere: i este numărul rândului din tabel, iar j este numărul coloanei, în zona intersecției căreia se află elementula_ij. Deci, vedem că avem o matrice de elemente precum a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ și așa mai departe. Litera n indică numărul de coloane, iar litera m indică numărul de rânduri. Simbolul m × n denotă dimensiunea matricei. Acesta este conceptul care definește numărul de rânduri și coloane dintr-o matrice dreptunghiulară de elemente.

Opțional, matricea trebuie să aibă mai multe coloane și rânduri. Cu o dimensiune de 1 × n, matricea de elemente este cu un singur rând, iar cu o dimensiune de m × 1, este o matrice cu o singură coloană. Când numărul de rânduri și numărul de coloane sunt egale, matricea se numește pătrat. Fiecare matrice pătrată are un determinant (det A). Acest termen se referă la numărul care este atribuit matricei A.

Câteva concepte mai importante de reținut pentru a rezolva cu succes matricele sunt diagonalele principale și secundare. Diagonala principală a unei matrice este diagonala care coboară în colțul din dreapta al tabelului din colțul din stânga sus. Diagonala laterală merge în colțul din dreapta în sus din colțul din stânga de jos.

Vizualizare matrice în trepte

Uită-te la poza de mai jos. Pe el veți vedea o matrice și o diagramă. Să ne ocupăm mai întâi de matrice. În algebra liniară, o matrice de acest fel se numește matrice în trepte. Are o singură proprietate: dacă a_ij este primul element diferit de zero din al-lea rând, atunci toate celel alte elemente din matricea de mai jos și la stânga lui a_ij , sunt nule (adică toate acele elemente cărora li se poate atribui denumirea literei a_kl, unde k>i șil<j).

Acum luați în considerare diagrama. Reflectă forma în trepte a matricei. Schema arată 3 tipuri de celule. Fiecare tip denotă anumite elemente:

• celule goale - zero elemente ale matricei;
• celule umbrite sunt elemente arbitrare care pot fi atât zero, cât și non-zero;
• pătratele negre sunt elemente diferite de zero, care sunt numite elemente de colț, „pași” (în matricea afișată în dreptul lor, astfel de elemente sunt numerele –1, 5, 3, 8).

La rezolvarea matricelor, uneori rezultatul este că „lungimea” pasului este mai mare decât 1. Acest lucru este permis. Contează doar „înălțimea” treptelor. Într-o matrice de etape, acest parametru trebuie să fie întotdeauna egal cu unu.

Reducere a matricei la forma de pas

Orice matrice dreptunghiulară poate fi convertită într-o formă în trepte. Acest lucru se realizează prin transformări elementare. Acestea includ:

• rearanjarea șirurilor;
• Adăugarea unei alte linii la o linie, dacă este necesar înmulțită cu un anumit număr (puteți efectua și o operație de scădere).

Să luăm în considerare transformările elementare în rezolvarea unei anumite probleme. Figura de mai jos arată matricea A, care trebuie redusă la o formă în trepte.

Pentru a rezolva problema, vom urma algoritmul:

• Este convenabil să efectuați transformări pe o matrice cuprimul element din colțul din stânga sus (adică elementul „conducător”) este 1 sau -1. În cazul nostru, primul element din rândul de sus este 2, așa că haideți să schimbăm primul și al doilea rând.
• Să facem operații de scădere, care afectează rândurile 2, 3 și 4. Ar trebui să obținem zerouri în prima coloană de sub elementul „în frunte”. Pentru a obţine acest rezultat: din elementele liniei nr. 2, scădem secvenţial elementele liniei nr. 1, înmulţite cu 2; din elementele liniei nr. 3 scădem secvenţial elementele liniei nr. 1, înmulţite cu 4; din elementele liniei nr. 4 scădem secvenţial elementele liniei nr. 1.
• În continuare, vom lucra cu o matrice trunchiată (fără coloana 1 și fără rândul 1). Noul element „conducător”, care se află la intersecția celei de-a doua coloane și al doilea rând, este egal cu -1. Nu este nevoie să rearanjam liniile, așa că rescriem prima coloană și primul și al doilea rând fără modificări. Să facem operații de scădere pentru a obține zerouri în a doua coloană sub elementul „în frunte”: din elementele celei de-a treia linie scădem secvenţial elementele celei de-a doua rânduri, înmulţite cu 3; scădeți elementele celei de-a doua linii înmulțite cu 2 din elementele celei de-a patra linii.
• Rămâne de schimbat ultima linie. Din elementele sale scădem succesiv elementele din al treilea rând. Astfel, avem o matrice în trepte.

Reducerea matricelor la o formă de pas este utilizată în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare (SLE) prin metoda Gauss. Înainte de a analiza această metodă, să înțelegem câțiva dintre termenii legați de SLN.

Matrici și sisteme de ecuații liniare

Matricele sunt folosite în diverse științe. Folosind tabele de numere, puteți, de exemplu, să rezolvați ecuații liniare combinate într-un sistem folosind metoda Gauss. Mai întâi, să facem cunoștință cu câțiva termeni și definițiile acestora și, de asemenea, să vedem cum se formează o matrice dintr-un sistem care combină mai multe ecuații liniare.

SLU – mai multe ecuații algebrice combinate cu prima putere necunoscută și fără termeni de produs.

Soluția

SLE – găsite valori ale necunoscutelor, înlocuind cu care ecuațiile din sistem devin identități.

Un SLE comun este un sistem de ecuații care are cel puțin o soluție.

SLE inconsistent este un sistem de ecuații care nu are soluții.

Cum se formează o matrice pe baza unui sistem care combină ecuații liniare? Există concepte precum matricele principale și extinse ale sistemului. Pentru a obține matricea principală a sistemului este necesar să se pună în tabel toți coeficienții pentru necunoscute. Matricea extinsă se obține prin adăugarea unei coloane de termeni liberi la matricea principală (include elemente cunoscute la care este echivalată fiecare ecuație din sistem). Puteți înțelege întregul proces studiind imaginea de mai jos.

Primul lucru pe care îl vedem în imagine este un sistem care include ecuații liniare. Elementele sale: a_ij – coeficienți numerici, x_j – valori necunoscute, b_i – termeni constanți (unde i=1, 2, …, m și j=1, 2, …, n). Al doilea element din imagine este matricea principală de coeficienți. Din fiecare ecuație, coeficienții se scriu pe rând. Ca rezultat, există tot atâtea rânduri în matrice câte ecuații există în sistem. Numărul de coloane este egal cu cel mai mare număr de coeficienți din orice ecuație. Al treilea element din imagine este o matrice augmentată cu o coloană de termeni liberi.

Informații generale despre metoda Gauss

În algebra liniară, metoda Gauss este modalitatea clasică de rezolvare a SLE. Poartă numele lui Carl Friedrich Gauss, care a trăit în secolele XVIII-XIX. Acesta este unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor. Esența metodei Gauss este de a efectua transformări elementare pe un sistem de ecuații algebrice liniare. Cu ajutorul transformărilor, SLE se reduce la un sistem echivalent de formă triunghiulară (în trepte), din care pot fi găsite toate variabilele.

Este de remarcat faptul că Carl Friedrich Gauss nu este descoperitorul metodei clasice de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare. Metoda a fost inventată mult mai devreme. Prima sa descriere se găsește în enciclopedia de cunoștințe a matematicienilor chinezi antici, numită „Matematica în 9 cărți”.

Un exemplu de rezolvare a SLE prin metoda Gauss

Să luăm în considerare soluția sistemelor prin metoda Gauss pe un exemplu specific. Vom lucra cu SLU din imagine.

Algoritm de rezolvare:

1. Vom reduce sistemul la o formă de pas prin mutarea directă a metodei Gauss, dar mai întâivom compune o matrice extinsă de coeficienți numerici și membri liberi.
2. Pentru a rezolva matricea folosind metoda Gaussiană (adică o aducem într-o formă în trepte), din elementele celui de-al doilea și al treilea rând, scădem secvenţial elementele primului rând. Obținem zerouri în prima coloană de sub elementul „principal”. În continuare, vom schimba a doua și a treia linie în locuri pentru comoditate. La elementele ultimului rând, se adaugă secvenţial elementele celui de-al doilea rând, înmulţite cu 3.
3. Ca rezultat al calculului matricei prin metoda Gauss, am obținut o matrice în trepte de elemente. Pe baza acestuia, vom compune un nou sistem de ecuații liniare. Prin cursul invers al metodei Gauss, găsim valorile termenilor necunoscuți. Din ultima ecuație liniară se poate observa că x₃ este egal cu 1. Înlocuim această valoare în a doua linie a sistemului. Obțineți ecuația x₂ – 4=–4. Rezultă că x₂ este egal cu 0. Înlocuiți x₂ și x₃ în prima ecuație a sistemului: x1 _{+ 0 +3=2. Termenul necunoscut este -1.}

Răspuns: folosind matricea, metoda Gauss, am găsit valorile necunoscutelor; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Metoda Gauss-Iordan

În algebra liniară există și metoda Gauss-Jordan. Este considerată o modificare a metodei gaussiene și este folosită pentru a găsi matricea inversă, a calcula termeni necunoscuți ai sistemelor pătrate de ecuații liniare algebrice. Metoda Gauss-Jordan este convenabilă prin faptul că permite rezolvarea SLE într-o singură etapă (fără utilizarea directă și inversămișcări).

Să începem cu termenul „matrice inversă”. Să presupunem că avem o matrice A. Inversul acesteia va fi matricea A^-1, în timp ce condiția este în mod necesar îndeplinită: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, adică produsul acestor matrici este egal cu matricea de identitate (elementele diagonalei principale a matricei de identitate sunt unu, iar elementele rămase sunt zero).}

O nuanță importantă: în algebra liniară există o teoremă asupra existenței unei matrici inverse. O condiție suficientă și necesară pentru existența matricei A^-1 este ca matricea A să fie nesingulară.

Pași de bază pe care se bazează metoda Gauss-Jordan:

1. Uită-te la primul rând al unei anumite matrice. Metoda Gauss-Jordan poate fi pornită dacă prima valoare nu este egală cu zero. Dacă primul loc este 0, schimbați rândurile astfel încât primul element să aibă o valoare diferită de zero (este de dorit ca numărul să fie mai aproape de unu).
2. Împărțiți toate elementele primului rând la primul număr. Veți ajunge cu un șir care începe cu unul.
3. Din a doua linie, scădeți prima linie înmulțită cu primul element al celei de-a doua linii, adică la final veți obține o linie care începe de la zero. Faceți același lucru pentru restul rândurilor. Împărțiți fiecare linie la primul său element diferit de zero pentru a obține 1 în diagonală.
4. Ca urmare, veți obține matricea triunghiulară superioară folosind metoda Gauss - Jordan. În ea, diagonala principală este reprezentată de unități. Colțul de jos este umplut cu zerouri șicolțul de sus - diverse valori.
5. Din penultima linie, scădeți ultima linie înmulțită cu coeficientul necesar. Ar trebui să obțineți un șir cu zerouri și unu. Pentru restul rândurilor, repetați aceeași acțiune. După toate transformările, se va obține matricea de identitate.

Un exemplu de găsire a matricei inverse folosind metoda Gauss-Jordan

Pentru a calcula matricea inversă, trebuie să scrieți matricea augmentată A|E și să efectuați transformările necesare. Să luăm în considerare un exemplu simplu. Figura de mai jos arată matricea A.

Soluție:

1. În primul rând, să găsim determinantul matricei folosind metoda Gaussiană (det A). Dacă acest parametru nu este egal cu zero, atunci matricea va fi considerată nesingulară. Acest lucru ne va permite să concluzionam că A are cu siguranță A^-1. Pentru a calcula determinantul, transformăm matricea într-o formă treptată prin transformări elementare. Să numărăm numărul K egal cu numărul de permutări ale rândurilor. Am schimbat liniile doar o singură dată. Să calculăm determinantul. Valoarea sa va fi egală cu produsul elementelor diagonalei principale, înmulțit cu (–1)^K. Rezultatul calculului: det A=2.
2. Compuneți matricea augmentată adăugând matricea de identitate la matricea originală. Matricea de elemente rezultată va fi folosită pentru a găsi matricea inversă prin metoda Gauss-Jordan.
3. Primul element din primul rând este egal cu unu. Acest lucru ni se potrivește, deoarece nu este nevoie să rearanjam liniile și să împărțim linia dată la un număr. Să începem să lucrămcu a doua și a treia linie. Pentru a transforma primul element din al doilea rând în 0, scădeți primul rând înmulțit cu 3 din al doilea rând. Scădeți primul rând din al treilea rând (nu este necesară înmulțirea).
4. În matricea rezultată, al doilea element al celui de-al doilea rând este -4, iar al doilea element al celui de-al treilea rând este -1. Să schimbăm liniile pentru comoditate. Din al treilea rând scădem al doilea rând înmulțit cu 4. Împărțim al doilea rând cu -1 și al treilea rând cu 2. Obținem matricea triunghiulară superioară.
5. Scădem ultima linie înmulțită cu 4 din a doua linie și ultima linie înmulțită cu 5 din prima linie. Apoi, scădem a doua linie înmulțită cu 2 din prima linie. În partea stângă avem matricea identitară. În dreapta este matricea inversă.

Un exemplu de rezolvare a SLE prin metoda Gauss-Iordan

Figura prezintă un sistem de ecuații liniare. Este necesar să găsiți valorile variabilelor necunoscute folosind o matrice, metoda Gauss-Jordan.

Soluție:

1. Să creăm o matrice augmentată. Pentru a face acest lucru, vom pune coeficienții și termenii liberi în tabel.
2. Rezolvați matricea folosind metoda Gauss-Jordan. Din linia nr. 2 scadem linia nr. 1. Din linia nr. 3 scadem linia nr. 1, inmultita anterior cu 2.
3. Schimbați rândurile 2 și 3.
4. Din linia 3 scădeți linia 2 înmulțită cu 2. Împărțiți a treia linie rezultată cu –1.
5. Scădere linia 3 din rândul 2.
6. Scădere linia 1 din rândul 1de 2 ori -1. În lateral, avem o coloană formată din numerele 0, 1 și -1. De aici concluzionăm că x₁=0, x₂=1 și x₃ =–1.

Dacă doriți, puteți verifica corectitudinea soluției înlocuind valorile calculate în ecuații:

• 0 – 1=–1, prima identitate din sistem este corectă;
• 0 + 1 + (–1)=0, a doua identitate din sistem este corectă;
• 0 – 1 + (–1)=–2, a treia identitate din sistem este corectă.

Concluzie: folosind metoda Gauss-Jordan, am găsit soluția corectă a unui sistem patratic care combină ecuații algebrice liniare.

Calculatoare online

Viața tinerilor de astăzi care studiază în universități și studiază algebra liniară a fost mult simplificată. În urmă cu câțiva ani, a trebuit să găsim singuri soluții pentru sistemele folosind metoda Gauss și Gauss-Jordan. Unii elevi au făcut față cu succes sarcinilor, în timp ce alții s-au încurcat în soluție, au făcut greșeli, au cerut ajutor colegilor de clasă. Astăzi, puteți folosi calculatoare online atunci când vă faceți temele. Pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare, a căuta matrici inverse, s-au scris programe care demonstrează nu numai răspunsurile corecte, dar arată și progresul rezolvării unei anumite probleme.

Există multe resurse pe Internet cu calculatoare online încorporate. Matricele gaussiene, sistemele de ecuații sunt rezolvate de aceste programe în câteva secunde. Elevii trebuie să specifice doar parametrii necesari (de exemplu, numărul de ecuații,numărul de variabile).