Matrix este un obiect special în matematică. Este reprezentat sub forma unui tabel dreptunghiular sau pătrat, compus dintr-un anumit număr de rânduri și coloane. În matematică, există o mare varietate de tipuri de matrice, care diferă ca dimensiune sau conținut. Numerele rândurilor și coloanelor sale se numesc ordine. Aceste obiecte sunt folosite în matematică pentru a organiza scrierea sistemelor de ecuații liniare și pentru a căuta în mod convenabil rezultatele acestora. Ecuațiile folosind o matrice sunt rezolvate folosind metoda lui Carl Gauss, Gabriel Cramer, adunări minore și algebrice și multe alte moduri. Abilitatea de bază atunci când lucrați cu matrice este de a le aduce la o formă standard. Cu toate acestea, mai întâi, să ne dăm seama ce tipuri de matrice sunt distinse de matematicieni.
Tip nul
Toate componentele acestui tip de matrice sunt zerouri. Între timp, numărul rândurilor și coloanelor sale este complet diferit.
Tip pătrat
Numărul de coloane și rânduri ale acestui tip de matrice este același. Cu alte cuvinte, este o masă de formă „pătrată”. Numărul coloanelor (sau rândurilor) sale se numește ordine. Cazuri speciale sunt existența unei matrice de ordinul doi (matrice 2x2), de ordinul al patrulea (4x4), a zecea (10x10), a șaptesprezecea (17x17) și așa mai departe.
Vector coloană
Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de matrice, care conține o singură coloană, care include trei valori numerice. Reprezintă o serie de termeni liberi (numere independente de variabile) în sisteme de ecuații liniare.
Vector rând
Vizualizare similară cu cea anterioară. Constă din trei elemente numerice, la rândul lor organizate pe o singură linie.
Tip diagonal
Numai componentele diagonalei principale (evidențiate cu verde) iau valori numerice în forma diagonală a matricei. Diagonala principală începe cu elementul din colțul din stânga sus și, respectiv, se termină cu elementul din dreapta jos. Restul componentelor sunt zero. Tipul diagonal este doar o matrice pătrată de un anumit ordin. Printre matricele de formă diagonală, se poate evidenția una scalară. Toate componentele sale au aceleași valori.
Matricea identității
O subspecie a matricei diagonale. Toate valorile sale numerice sunt unități. Folosind un singur tip de tabele matriceale, efectuați transformările de bază ale acestuia sau găsiți o matrice inversă celei originale.
Tip canonic
Forma canonică a unei matrice este considerată una dintre cele principale; turnarea la acesta este adesea necesară pentru a funcționa. Numărul de rânduri și coloane din matricea canonică este diferit, nu aparține neapărat tipului pătrat. Este oarecum asemănătoare cu matricea de identitate, însă, în cazul ei, nu toate componentele diagonalei principale iau o valoare egală cu unu. Pot exista două sau patru unități diagonale principale (totul depinde de lungimea și lățimea matricei). Sau este posibil să nu existe deloc unități (atunci este considerat zero). Componentele rămase ale tipului canonic, precum și elementele diagonalei și identității, sunt egale cu zero.
Tip de triunghi
Unul dintre cele mai importante tipuri de matrice, folosit la căutarea determinantului său și la efectuarea unor operații simple. Tipul triunghiular provine din tipul diagonal, deci matricea este și pătrată. Vederea triunghiulară a matricei este împărțită în triunghiular superior și triunghiular inferior.
În matricea triunghiulară superioară (Fig. 1), doar elementele care se află deasupra diagonalei principale iau o valoare egală cu zero. Componentele diagonalei în sine și partea de sub ea a matricei conțin valori numerice.
În matricea triunghiulară inferioară (Fig. 2), dimpotrivă, elementele situate în partea inferioară a matricei sunt egale cu zero.
Matrice de pași
Vizualizarea este necesară pentru găsirea rangului unei matrice, precum și pentru operații elementare asupra acestora (împreună cu tipul triunghiular). Matricea pașilor este numită așa deoarece conține „pași” caracteristici de zerouri (așa cum se arată în figură). În tipul în trepte, se formează o diagonală de zerouri (nu neapărat cea principală), iar toate elementele de sub această diagonală au, de asemenea, valori egale cu zero. O condiție prealabilă este următoarea: dacă există un rând zero în matricea de pași, atunci rândurile rămase de sub acesta nu conțin nici valori numerice.
Astfel, am luat în considerare cele mai importante tipuri de matrice necesare pentru a lucra cu ele. Acum să ne ocupăm de sarcina de a converti o matrice în forma necesară.
Reduceți la formă triunghiulară
Cum se aduce matricea într-o formă triunghiulară? Cel mai adesea, în sarcini, trebuie să convertiți o matrice într-o formă triunghiulară pentru a găsi determinantul acesteia, altfel numit determinant. Atunci când se efectuează această procedură, este extrem de important să se „pastreze” diagonala principală a matricei, deoarece determinantul unei matrice triunghiulare este exact produsul componentelor diagonalei sale principale. Permiteți-mi să vă reamintesc și metodele alternative de găsire a determinantului. Determinantul de tip pătrat se găsește folosind formule speciale. De exemplu, puteți folosi metoda triunghiului. Pentru alte matrici se folosește metoda de descompunere pe rând, coloană sau elementele acestora. De asemenea, puteți aplica metoda minorilor și a complementelor algebrice ale matricei.
DetaliiSă analizăm procesul de aducere a unei matrice într-o formă triunghiulară folosind exemple ale unor sarcini.
Sarcina 1
Este necesar să se găsească determinantul matricei prezentate, folosind metoda aducerii acesteia la o formă triunghiulară.
Matricea dată nouă este o matrice pătrată de ordinul trei. Prin urmare, pentru a o transforma într-o formă triunghiulară, trebuie să anulăm două componente ale primei coloane și o componentă a celei de-a doua.
Pentru a o aduce într-o formă triunghiulară, începeți transformarea din colțul din stânga jos al matricei - de la numărul 6. Pentru a o transforma la zero, înmulțiți primul rând cu trei și scădeți-l din ultimul rând.
Important! Linia de sus nu se modifică, dar rămâne aceeași ca în matricea originală. Nu trebuie să scrieți un șir de patru ori mai mare decât cel original. Dar valorile șirurilor ale căror componente trebuie anulate se schimbă constant.
În continuare, să ne ocupăm de următoarea valoare - elementul al doilea rând al primei coloane, numărul 8. Înmulțiți primul rând cu patru și scădeți-l din al doilea rând. Primim zero.
Rămâne doar ultima valoare - elementul celui de-al treilea rând al celei de-a doua coloane. Acesta este numărul (-1). Pentru a o transforma la zero, scădeți a doua din prima linie.
Să verificăm:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Deci răspunsul la sarcină este -22.
Sarcina 2
Trebuie să găsim determinantul matricei aducându-l într-o formă triunghiulară.
Matrice reprezentatăaparține tipului pătrat și este o matrice de ordinul al patrulea. Aceasta înseamnă că trei componente ale primei coloane, două componente ale celei de-a doua coloane și o componentă a celei de-a treia coloane trebuie puse la zero.
Să începem reducerea sa de la elementul situat în colțul din stânga jos - de la numărul 4. Trebuie să transformăm acest număr la zero. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este să înmulțiți rândul de sus cu patru și apoi să îl scădeți din al patrulea rând. Să notăm rezultatul primei etape a transformării.
Deci, componenta celei de-a patra linii este setată la zero. Să trecem la primul element al celei de-a treia rânduri, la numărul 3. Efectuăm o operație similară. Înmulțiți cu trei prima linie, scădeți-o din a treia linie și scrieți rezultatul.
În continuare, vedem numărul 2 pe a doua linie. Repetăm operația: înmulțim rândul de sus cu doi și scădem din al doilea.
Am reușit să punem la zero toate componentele primei coloane a acestei matrice pătrate, cu excepția numărului 1, elementul diagonalei principale care nu necesită transformare. Acum este important să păstrăm zerourile rezultate, așa că vom efectua transformări cu rânduri, nu cu coloane. Să trecem la a doua coloană a matricei prezentate.
Să începem din nou de jos - de la elementul coloanei a doua a ultimului rând. Acesta este numărul (-7). Cu toate acestea, în acest caz, este mai convenabil să începeți cu numărul (-1) - elementul coloanei a doua a celui de-al treilea rând. Pentru a-l transforma la zero, scădeți al doilea rând din al treilea rând. Apoi înmulțim al doilea rând cu șapte și îl scadem din al patrulea. Am primit zero în loc de elementul situat în al patrulea rând al celei de-a doua coloane. Acum să trecem la a treiacoloană.
În această coloană, trebuie să trecem la zero doar un număr - 4. Este ușor de făcut: trebuie doar să adăugați al treilea la ultima linie și să vedem zero de care avem nevoie.
După toate transformările, am adus matricea propusă într-o formă triunghiulară. Acum, pentru a-i găsi determinantul, trebuie doar să înmulți elementele rezultate ale diagonalei principale. Se obține: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Prin urmare, soluția este numărul 160.
Deci, acum problema aducerii matricei într-o formă triunghiulară nu vă va îngreuna.
Reducere la formă în trepte
În operațiile elementare pe matrice, forma în trepte este mai puțin „solicitată” decât cea triunghiulară. Este cel mai frecvent utilizat pentru a găsi rangul unei matrice (adică numărul rândurilor sale diferite de zero) sau pentru a determina rânduri dependente și independente liniar. Cu toate acestea, vizualizarea matricei în trepte este mai versatilă, deoarece este potrivită nu numai pentru tipul pătrat, ci și pentru toate celel alte.
Pentru a reduce o matrice la o formă în trepte, mai întâi trebuie să-i găsiți determinantul. Pentru aceasta, metodele de mai sus sunt potrivite. Scopul găsirii determinantului este de a afla dacă acesta poate fi convertit într-o matrice de etape. Dacă determinantul este mai mare sau mai mic decât zero, atunci puteți trece în siguranță la sarcină. Dacă este egal cu zero, nu va funcționa pentru a reduce matricea la o formă în trepte. În acest caz, trebuie să verificați dacă există erori în înregistrare sau în transformările matricei. Dacă nu există astfel de inexactități, sarcina nu poate fi rezolvată.
Să vedem cumaduceți matricea într-o formă în trepte folosind exemple de mai multe sarcini.
Sarcina 1. Găsiți rangul tabelului matriceal dat.
Înaintea noastră este o matrice pătrată de ordinul al treilea (3x3). Știm că pentru a găsi rangul este necesar să-l reducem la o formă în trepte. Prin urmare, trebuie mai întâi să găsim determinantul matricei. Folosind metoda triunghiului: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Este mai mare decât zero, ceea ce înseamnă că matricea poate fi redusă la o formă în trepte. Să începem transformările.
Să începem cu elementul coloanei din stânga a celui de-al treilea rând - numărul 2. Înmulțiți rândul de sus cu doi și scădeți-l din al treilea. Datorită acestei operațiuni, atât elementul de care avem nevoie, cât și numărul 4 - elementul coloanei a doua a celui de-al treilea rând - s-au transformat în zero.
În continuare, întoarceți la zero elementul din al doilea rând al primei coloane - numărul 3. Pentru a face acest lucru, înmulțiți rândul de sus cu trei și scădeți-l din al doilea.
Vedem că reducerea a dus la o matrice triunghiulară. În cazul nostru, transformarea nu poate fi continuată, deoarece componentele rămase nu pot fi transformate la zero.
Deci, concluzionăm că numărul de rânduri care conțin valori numerice în această matrice (sau rangul acesteia) este 3. Răspuns la sarcină: 3.
Sarcina 2. Determinați numărul de rânduri liniar independente ale acestei matrice.
Trebuie să găsim șiruri care nu pot fi inversate prin nicio transformarela zero. De fapt, trebuie să găsim numărul de rânduri diferite de zero sau rangul matricei reprezentate. Pentru a face acest lucru, să simplificăm.
Vedem o matrice care nu aparține tipului pătrat. Are dimensiunile 3x4. Să începem și distribuția din elementul din colțul din stânga jos - numărul (-1).
Adăugați prima linie la a treia. Apoi, scădeți a doua pentru a transforma numărul 5 la zero.
Alte transformări sunt imposibile. Deci, concluzionăm că numărul de linii liniar independente din el și răspunsul la sarcină este 3.
Acum aducerea matricei într-o formă în trepte nu este o sarcină imposibilă pentru tine.
Pe exemplele acestor sarcini, am analizat reducerea unei matrice la o formă triunghiulară și o formă în trepte. Pentru a anula valorile dorite ale tabelelor matriceale, în unele cazuri este necesar să dați dovadă de imaginație și să le transformați corect coloanele sau rândurile. Mult succes la matematică și la lucrul cu matrici!
