Prismă triunghiulară directă. Formule pentru volum și suprafață. Rezolvarea unei probleme geometrice

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

În liceu, după ce au studiat proprietățile figurilor pe plan, se trece la luarea în considerare a obiectelor geometrice spațiale precum prisme, sfere, piramide, cilindri și conuri. În acest articol, vom oferi cea mai completă descriere a unei prisme triunghiulare drepte.

Ce este o prismă triunghiulară?

Să începem articolul cu definiția figurii, care va fi discutată în continuare. O prismă din punct de vedere al geometriei este o figură în spațiu formată din două n-gonuri identice situate în plane paralele, ale căror unghiuri sunt conectate prin segmente de linie dreaptă. Aceste segmente se numesc coaste laterale. Împreună cu părțile laterale ale bazei, ele formează o suprafață laterală, care este în general reprezentată prin paralelograme.

Două n-gonuri sunt bazele figurii. Dacă marginile laterale sunt perpendiculare pe ele, atunci vorbesc despre o prismă dreaptă. În consecință, dacă numărul de laturi n ale poligonului de la baze este trei, atunci o astfel de figură se numește prismă triunghiulară.

Prisma dreaptă triunghiulară este prezentată mai sus în figură. Această figură este numită și regulată, deoarece bazele ei sunt triunghiuri echilaterale. Lungimea marginii laterale a figurii, indicată prin litera h din figură, se numește înălțimea acesteia.

Figura arată că o prismă cu bază triunghiulară este formată din cinci fețe, dintre care două sunt triunghiuri echilaterale și trei dreptunghiuri identice. Pe lângă fețe, prisma are șase vârfuri la baze și nouă muchii. Numerele elementelor considerate sunt legate între ele prin teorema lui Euler:

număr de muchii=numărul de vârfuri + numărul de laturi - 2.

Aria unei prisme triunghiulare dreptunghiulare

Am aflat mai sus că figura în cauză este formată din cinci fețe de două tipuri (două triunghiuri, trei dreptunghiuri). Toate aceste fețe formează întreaga suprafață a prismei. Suprafața lor totală este aria figurii. Mai jos este o desfășurare a prismei triunghiulare, care poate fi obținută prin tăierea mai întâi a două baze din figură, apoi tăierea de-a lungul unei margini și desfacerea suprafeței laterale.

Să oferim formule pentru determinarea suprafeței acestei mături. Să începem cu bazele unei prisme triunghiulare dreptunghiulare. Deoarece reprezintă triunghiuri, aria S_{3 a fiecăruia dintre ele poate fi găsită după cum urmează:}

S₃=1/2ah_a.

Aici a este latura triunghiului, h_{a este înălțimea coborâtă de la vârful triunghiului la această latură.}

Dacă triunghiul este echilateral (regulat), atunci formula pentru S_{3 depinde doar de un singur parametru a. Arată ca:}

S₃=√3/4a^2.

Această expresie poate fi obținută luând în considerare un triunghi dreptunghic format din segmentele a, a/2, h_a.

Aria bazelor S_o pentru o cifră obișnuită este de două ori mai mare decât valoarea S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

În ceea ce privește suprafața laterală S_{b, nu este dificil de calculat. Pentru a face acest lucru, este suficient să înmulțiți cu trei aria dreptunghiului osos format din laturile a și h. Formula corespunzătoare este:}

S_b=3ah.

Astfel, aria unei prisme regulate cu o bază triunghiulară se găsește prin următoarea formulă:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Dacă prisma este dreaptă, dar neregulată, atunci pentru a-i calcula aria, ar trebui să adăugați separat ariile dreptunghiurilor care nu sunt egale între ele.

Determinarea volumului unei figuri

Volumul unei prisme este înțeles ca spațiul limitat de laturile sale (fețele). Calcularea volumului unei prisme triunghiulare drepte este mult mai ușoară decât calcularea suprafeței acesteia. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți aria bazei și înălțimea figurii. Deoarece înălțimea h a unei figuri drepte este lungimea marginii sale laterale și cum se calculează aria de bază, am dat în precedentulpunct, atunci rămâne să înmulțim aceste două valori una cu ceal altă pentru a obține volumul dorit. Formula pentru aceasta devine:

V=S_3h.

Rețineți că produsul dintre suprafața unei baze și înălțimea va da volumul nu numai a unei prisme drepte, ci și a unei figuri oblice și chiar a unui cilindru.

Rezolvarea problemelor

Prismele triunghiulare din sticlă sunt folosite în optică pentru a studia spectrul radiațiilor electromagnetice din cauza fenomenului de dispersie. Se știe că o prismă de sticlă obișnuită are o lungime a laturii de bază de 10 cm și o lungime a muchiei de 15 cm. Care este aria fețelor sale de sticlă și ce volum conține?

Pentru a determina zona, vom folosi formula scrisă în articol. Avem:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

Pentru a determina volumul V, folosim și formula de mai sus:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

În ciuda faptului că marginile prismei au 10 cm și 15 cm lungime, volumul figurii este de doar 0,65 litri (un cub cu latura de 10 cm are un volum de 1 litru).