Ce este o prismă directă? Formule pentru lungimile diagonalelor, suprafața și volumul unei figuri

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 05:39

Cursul de geometrie școlară este împărțit în două mari secțiuni: planimetrie și geometrie solidă. Stereometria studiază figurile spațiale și caracteristicile acestora. În acest articol, ne vom uita la ce este o prismă dreaptă și vom oferi formule care descriu proprietățile acesteia, cum ar fi lungimile diagonalelor, volumul și suprafața.

Ce este o prismă?

Când li se cere elevilor să numească definiția unei prisme, ei răspund că această figură este două poligoane paralele identice, ale căror laturi sunt legate prin paralelograme. Aceasta definitie este cat se poate de generala, intrucat nu impune conditii asupra formei poligoanelor, asupra dispunerii lor reciproce in planuri paralele. În plus, implică prezența paralelogramelor de legătură, a căror clasă include și un pătrat, un romb și un dreptunghi. Mai jos puteți vedea ce este o prismă patruunghiulară.

Vedem că o prismă este un poliedru (poliedru) format din n + 2laturi, 2 × n vârfuri și 3 × n muchii, unde n este numărul de laturi (vertice) ale unuia dintre poligoane.

Ambele poligoane se numesc de obicei bazele figurii, celel alte fețe sunt laturile prismei.

Conceptul unei prisme drepte

Există diferite tipuri de prisme. Deci, ei vorbesc despre figuri regulate și neregulate, despre prisme triunghiulare, pentagonale și alte, există figuri convexe și concave și, în sfârșit, sunt înclinate și drepte. Să vorbim despre acesta din urmă mai detaliat.

O prismă dreaptă este o astfel de figură a clasei studiate de poliedre, toate patrulaturile laterale ale cărora au unghiuri drepte. Există doar două tipuri de astfel de patrulatere - un dreptunghi și un pătrat.

Forma considerată a figurii are o proprietate importantă: înălțimea unei prisme drepte este egală cu lungimea marginii sale laterale. Rețineți că toate marginile laterale ale figurii sunt egale între ele. În ceea ce privește fețele laterale, în cazul general nu sunt egale între ele. Egalitatea lor este posibilă dacă, pe lângă faptul că prisma este dreaptă, va fi și corectă.

Figura de mai jos arată o figură dreaptă cu o bază pentagonală. Se poate observa că toate fețele sale laterale sunt dreptunghiuri.

Diagonalele prismelor și parametrii săi liniari

Principalele caracteristici liniare ale oricărei prisme sunt înălțimea sa h și lungimile laturilor bazei sale a_i, unde i=1, …, n. Dacă baza este un poligon regulat, atunci este suficient să cunoaștem lungimea a unei laturi pentru a-i descrie proprietățile. Cunoașterea parametrilor liniari marcați ne permite să facem clardefiniți astfel de proprietăți ale unei figuri ca volumul sau suprafața acesteia.

Diagonalele unei prisme drepte sunt segmente care leagă oricare două vârfuri neadiacente. Astfel de diagonale pot fi de trei tipuri:

• culcat în planurile de bază;
• situat în planurile dreptunghiurilor laterale;
• cifre aparținând volumului.

Lungimile acelor diagonale legate de bază ar trebui determinate în funcție de tipul de n-gon.

Diagonalele dreptunghiurilor laterale sunt calculate folosind următoarea formulă:

d_1i=√(a_i²+ h²).

Pentru a determina diagonalele de volum, trebuie să cunoașteți valoarea lungimii diagonalei de bază corespunzătoare și a înălțimii. Dacă o diagonală a bazei este notă cu litera d_0i, atunci diagonala de volum d_2i se calculează după cum urmează:

d_2i=√(d_0i²+ h²).

De exemplu, în cazul unei prisme patrulatere obișnuite, lungimea diagonalei volumului va fi:

d₂=√(2 × a²+ h²).

Rețineți că o prismă triunghiulară dreptunghiulară are doar unul dintre cele trei tipuri de diagonale numite: diagonala laterală.

Suprafața clasei studiate de forme

Aria suprafeței este suma ariilor tuturor fețelor unei figuri. Pentru a vizualiza toate fețele, ar trebui să faceți o scanare a prismei. Ca exemplu, o astfel de măturare pentru o figură pentagonală este prezentată mai jos.

Vedem că numărul figurilor plane este n + 2, iar n sunt dreptunghiuri. Pentru a calcula suprafața întregii maturi, adăugați zonele a două baze identice și zonele tuturor dreptunghiurilor. Apoi formula corespunzătoare va arăta astfel:

S=2 × S_o+ h × ∑_i=1ⁿ (a_i).

Această egalitate arată că aria suprafeței laterale pentru tipul de prisme studiat este egală cu produsul dintre înălțimea figurii și perimetrul bazei acesteia.

Aria de bază a lui S_o poate fi calculată prin aplicarea formulei geometrice corespunzătoare. De exemplu, dacă baza unei prisme drepte este un triunghi dreptunghic, atunci obținem:

S_o=a₁ × a₂ / 2.

Unde un₁ și un₂ sunt catetele triunghiului.

Dacă baza este un n-gon cu unghiuri și laturi egale, atunci următoarea formulă va fi corectă:

S_o=n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Formula de volum

Determinarea volumului unei prisme de orice fel nu este o sarcină dificilă dacă sunt cunoscute aria de bază S_o și înălțimea h. Înmulțind aceste valori împreună, obținem volumul V al cifrei, adică:

V=S_o × h.

Deoarece parametrul h al unei prisme drepte este egal cu lungimea muchiei laterale, toată problema calculării volumului se rezumă la calcularea ariei S_o. Deasupra noastrăam spus deja câteva cuvinte și am dat câteva formule pentru a determina S_o. Aici observăm doar că, în cazul unei baze de formă arbitrară, ar trebui să o împărțiți în segmente simple (triunghiuri, dreptunghiuri), să calculați aria fiecăruia și apoi să adăugați toate zonele pentru a obține S _o.