Prisma pentagonală în rezolvarea problemelor de geometrie este mult mai puțin obișnuită decât prisme precum triunghiular, pătrangular sau hexagonal. Cu toate acestea, este util să revizuiți proprietățile de bază ale acestei forme, precum și să aflați cum poate fi desenată.
Ce este o prismă pentagonală?
Aceasta este o figură tridimensională, ale cărei baze sunt pentagoane, iar laturile sunt paralelograme. Dacă fiecare dintre aceste paralelograme este perpendicular pe bazele paralele, atunci o astfel de prismă se numește dreptunghiulară. Suprafața laterală a unei prisme pentagonale dreptunghiulare este compusă din cinci dreptunghiuri. În plus, latura adiacentă bazei fiecăruia dintre ele este egală cu lungimea corespunzătoare a laturii pentagonului.
Dacă pentagonul este regulat, adică toate laturile și unghiurile sale sunt egale între ele, atunci o astfel de prismă dreptunghiulară se numește regulată. În continuare, în articol vom lua în considerare proprietățile acestei figuri particulare.
Elemente prismă
Pentru ea, ca pentru orice prismă,următoarele elemente sunt caracteristice:
- fețele sau laturile sunt părți ale planurilor care delimitează o figură în spațiu;
- tops - puncte de intersecție a trei laturi;
- coaste - segmente ale intersecției a două laturi ale figurii.
Numerele tuturor elementelor numite sunt legate între ele prin următoarea egalitate:
Numărul de muchii=numărul de vârfuri + numărul de fețe - 2
Această expresie se numește formula lui Euler pentru poliedru.
Într-o prismă pentagonală, numărul de laturi este șapte (două baze + cinci dreptunghiuri). Numărul de vârfuri este 10 (cinci pentru fiecare bază). Numărul de margini în acest caz va fi:
Numărul de coaste=10 + 7 - 2=15
Zece muchii aparțin bazelor prismei, iar cinci muchii sunt formate din dreptunghiuri.
Cum se desenează o prismă pentagonală?
Răspunsul la această întrebare depinde de sarcina specifică. Dacă este necesar să desenați o prismă arbitrară, atunci ar trebui desenat orice pentagon. După aceea, desenați cinci segmente paralele de lungime egală din fiecare vârf al pentagonului. Apoi, conectați capetele superioare ale segmentelor. Rezultatul este o prismă arbitrară pentagonală.
Dacă este necesar să desenați o prismă regulată, atunci întreaga complexitate a sarcinii se reduce la obținerea unui pentagon obișnuit. Există mai multe moduri de a desena acest poligon. Aici vom lua în considerare doar două moduri.
Prima modalitate este să desenezi un cerc cu o busolă. Apoi se trasează un diametru arbitrarcerc și cinci unghiuri sunt numărate din acesta folosind un raportor la 72o(572o=360o). Când se numără fiecare unghi, se face o crestătură pe cerc. Pentru a construi un dreptunghi, rămâne să conectați crestăturile marcate cu segmente drepte.
A doua metodă implică folosirea doar a unei busole și a unei rigle. Este oarecum complex în comparație cu precedentul. Mai jos este un videoclip care explică în detaliu fiecare pas al acestei versiuni.
Rețineți că este ușor să desenați un pentagon dacă conectați capetele stelei. Dacă nu este necesar să desenați un pentagon exact obișnuit, atunci puteți utiliza metoda stelelor desenate manual.
De îndată ce pentagonul este desenat, este necesar să desenați cinci segmente paralele identice din fiecare dintre vârfurile sale și să le conectați vârfurile. Rezultatul este o prismă pentagonală.
Zona de formă
Acum luați în considerare cum să găsiți aria unei prisme pentagonale. Figura de mai jos arată evoluția acestuia. Se poate observa că aria necesară este formată din două pentagoane identice și cinci dreptunghiuri egale între ele.
Aria întregii suprafețe a figurii este exprimată prin formula:
S=2So+ 5Sp
Aici indicii o și p înseamnă baza și, respectiv, dreptunghi. Să notăm lungimea laturii pentagonului ca a, iar înălțimea figurii ca h. Apoi pentru dreptunghi scriem:
Sp=ah
Pentru a calcula aria unui pentagon,utilizați formula universală:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Unde n este numărul de laturi ale poligonului. Înlocuind n=5, obținem:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
Precizia egalității rezultate este de 3 zecimale, ceea ce este suficient pentru a rezolva orice problemă.
Acum rămâne de găsit suma suprafețelor obținute ale bazei și suprafeței laterale. Avem:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Trebuie amintit că formula rezultată este valabilă numai pentru o prismă dreptunghiulară. În cazul unei figuri oblice, aria suprafeței sale laterale se găsește pe baza cunoașterii perimetrului tăieturii, care trebuie să fie perpendicular pe toate paralelogramele.
Volumul figurii
Formula pentru calcularea volumului unei prisme pentagonale nu este diferită de o expresie similară pentru orice altă prismă sau cilindru. Volumul unei figuri este egal cu produsul dintre înălțimea acesteia și aria bazei:
V=Soh
Dacă prisma în cauză este dreptunghiulară, atunci înălțimea ei este lungimea muchiei formate de dreptunghiuri. Aria unui pentagon obișnuit a fost calculată mai sus cu mare precizie. Înlocuiți această valoare în formula pentru volum și obțineți expresia necesară pentru o prismă pentagonală regulată:
V=1, 72a2h
Astfel, calculând volumul și suprafațao prismă regulată pentagonală este posibilă dacă se cunosc latura bazei și înălțimea figurii.
