Ce este aritmetica? Când a început omenirea să folosească numerele și să lucreze cu ele? Unde se duc rădăcinile unor astfel de concepte cotidiene precum numerele, fracțiile, scăderea, adunarea și înmulțirea, pe care o persoană le-a făcut o parte inseparabilă din viața și viziunea sa asupra lumii? Mințile grecești antice admirau științe precum matematica, aritmetica și geometria ca fiind cele mai frumoase simfonii ale logicii umane.
Poate că aritmetica nu este la fel de profundă ca alte științe, dar ce s-ar întâmpla cu ele dacă o persoană ar uita tabla de înmulțire elementară? Gândirea logică obișnuită pentru noi, folosind numere, fracții și alte instrumente, nu a fost ușoară pentru oameni și pentru o lungă perioadă de timp a fost inaccesibilă strămoșilor noștri. De fapt, înainte de dezvoltarea aritmeticii, niciun domeniu al cunoașterii umane nu era cu adevărat științific.
Aritmetica este ABC-ul matematicii
Aritmetica este știința numerelor, cu care orice persoană începe să se familiarizeze cu lumea fascinantă a matematicii. După cum a spus M. V. Lomonosov, aritmetica este poarta învățării, deschizând calea către cunoașterea lumii pentru noi. Dar are dreptateCunoașterea lumii poate fi separată de cunoașterea numerelor și literelor, a matematicii și a vorbirii? Poate că pe vremuri, dar nu și în lumea modernă, unde dezvoltarea rapidă a științei și tehnologiei dictează propriile legi.
Cuvântul „aritmetică” (greacă „arithmos”) de origine greacă înseamnă „număr”. Ea studiază numerele și tot ce poate fi conectat cu ele. Aceasta este lumea numerelor: diverse operații asupra numerelor, reguli numerice, rezolvarea problemelor legate de înmulțire, scădere etc.
Este în general acceptat că aritmetica este pasul inițial al matematicii și o bază solidă pentru secțiunile sale mai complexe, cum ar fi algebra, analiza matematică, matematica superioară etc.
Obiect principal al aritmeticii
Baza aritmeticii este un număr întreg, ale cărui proprietăți și modele sunt considerate în aritmetica superioară sau teoria numerelor. De fapt, puterea întregii clădiri - matematica - depinde de cât de corectă este abordată luând în considerare un bloc atât de mic ca un număr natural.
De aceea, la întrebarea ce este aritmetica se poate răspunde simplu: este știința numerelor. Da, despre obișnuitele șapte, nouă și toată această comunitate diversă. Și așa cum nu poți scrie poezie bună sau chiar cea mai mediocră fără un alfabet elementar, nu poți rezolva nici măcar o problemă elementară fără aritmetică. De aceea toate științele au avansat abia după dezvoltarea aritmeticii și matematicii, înainte de aceasta fiind doar un set de presupuneri.
Aritmetica este o știință fantomă
Ce este aritmetica - științe naturale sau fantomă? De fapt, așa cum au susținut filozofii greci antici, nici numerele, nici cifrele nu există în realitate. Aceasta este doar o fantomă care este creată în gândirea umană atunci când luăm în considerare mediul cu procesele sale. Într-adevăr, ce este un număr? Nicăieri în jur nu vedem așa ceva care să poată fi numit număr, mai degrabă, un număr este o modalitate a minții umane de a studia lumea. Sau poate este studiul pe noi înșine din interior? Filosofii s-au certat despre acest lucru de multe secole la rând, așa că nu ne angajăm să dăm un răspuns exhaustiv. Într-un fel sau altul, aritmetica a reușit să-și ia locul atât de ferm, încât în lumea modernă nimeni nu poate fi considerat adaptat social fără a-și cunoaște elementele de bază.
Cum a apărut numărul natural
Desigur, obiectul principal pe care operează aritmetica este un număr natural, cum ar fi 1, 2, 3, 4, …, 152… etc. Aritmetica numerelor naturale este rezultatul numărării obiectelor obișnuite, cum ar fi vacile într-o pajiște. Totuși, definiția „mult” sau „puțin” a încetat odată să se potrivească oamenilor, iar aceștia au fost nevoiți să inventeze tehnici de numărare mai avansate.
Dar adevărata descoperire a avut loc atunci când gândirea umană a ajuns la punctul în care este posibil să se desemneze 2 kilograme și 2 cărămizi și 2 părți cu același număr „două”. Faptul este că trebuie să faceți abstracție de la formele, proprietățile și semnificația obiectelor, apoi puteți efectua unele acțiuni cu aceste obiecte sub formă de numere naturale. Astfel s-a născut aritmetica numerelor, caredezvoltat și extins în continuare, ocupând poziții din ce în ce mai mari în viața societății.
Asemenea concepte aprofundate de număr, cum ar fi zero și număr negativ, fracții, desemnări ale numerelor prin numere și în alte moduri, au o istorie bogată și interesantă de dezvoltare.
Egipteni aritmetici și practici
Cei mai vechi doi însoțitori umani în explorarea lumii din jurul nostru și în rezolvarea problemelor de zi cu zi sunt aritmetica și geometria.
Se crede că istoria aritmeticii își are originea în Orientul Antic: în India, Egipt, Babilon și China. Astfel, papirusul Rinda de origine egipteană (numit așa pentru că aparținea proprietarului cu același nume), datând din secolul XX. BC, pe lângă alte date valoroase, conține extinderea unei fracții în suma fracțiilor cu numitori diferiți și un numărător egal cu unu.
De exemplu: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Dar ce rost are o descompunere atât de complexă? Cert este că abordarea egipteană nu a tolerat gânduri abstracte despre numere, dimpotrivă, calculele au fost făcute doar în scopuri practice. Adică, egipteanul se va angaja în calcule, numai pentru a construi un mormânt, de exemplu. A fost necesar să se calculeze lungimea marginii structurii, iar acest lucru a forțat o persoană să se așeze în spatele papirusului. După cum puteți vedea, progresul egiptean în calcule a fost cauzat mai degrabă de construcția în masă decât de dragostea pentru știință.
Din acest motiv, calculele găsite pe papirusuri nu pot fi numite reflecții pe tema fracțiilor. Cel mai probabil, aceasta este o pregătire practică care a ajutat în viitor.rezolva probleme cu fracții. Vechii egipteni, care nu cunoșteau tabelele înmulțirii, făceau calcule destul de lungi, descompuse în multe subsarcini. Poate că aceasta este una dintre acele sarcini secundare. Este ușor de observat că calculele cu astfel de piese de prelucrat sunt foarte laborioase și nepromițătoare. Poate din acest motiv nu vedem marea contribuție a Egiptului Antic la dezvoltarea matematicii.
Grecia antică și aritmetica filozofică
Multe cunoștințe despre Orientul Antic au fost stăpânite cu succes de vechii greci, celebri iubitori de reflecții abstracte, abstracte și filozofice. Ei nu erau mai puțin interesați de practică, dar este dificil să găsești cei mai buni teoreticieni și gânditori. Acest lucru a adus beneficii științei, deoarece este imposibil să pătrundem în aritmetică fără a o rupe de realitate. Sigur, poți înmulți 10 vaci și 100 de litri de lapte, dar nu vei ajunge prea departe.
Grecii profund gânditori au lăsat o amprentă semnificativă asupra istoriei, iar scrierile lor au ajuns până la noi:
- Euclid și elementele.
- Pythagoras.
- Arhimede.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Și, bineînțeles, grecii, care au transformat totul în filozofie, și mai ales urmașii operei lui Pitagora, erau atât de fascinați de numere, încât îi considerau misterul armoniei lumii. Numerele au fost studiate și cercetate în așa măsură încât unora dintre ele și perechile lor li s-au atribuit proprietăți speciale. De exemplu:
- Numerele perfecte sunt acelea care sunt egale cu suma tuturor divizorilor lor, cu excepția numărului în sine (6=1+2+3).
- Numerele prietenoase sunt acele numere, dintre care unuleste egală cu suma tuturor divizorilor secundului și invers (pitagoreicii cunoșteau o singură astfel de pereche: 220 și 284).
Grecii, care credeau că știința ar trebui să fie iubită și nu să fie alături de ea de dragul profitului, au obținut un mare succes explorând, jucând și adunând numere. Trebuie remarcat că nu toate cercetările lor au fost utilizate pe scară largă, unele dintre ele au rămas doar „pentru frumusețe”.
Gânditorii estici ai Evului Mediu
La fel, în Evul Mediu, aritmetica își datorează dezvoltarea contemporanilor răsăriteni. Indienii ne-au dat numerele pe care le folosim în mod activ, un concept precum „zero”, și versiunea pozițională a calculului, familiară percepției moderne. De la Al-Kashi, care a lucrat în Samarkand în secolul al XV-lea, am moștenit fracțiile zecimale, fără de care este dificil să ne imaginăm aritmetica modernă.
În multe feluri, cunoașterea Europei cu realizările Orientului a devenit posibilă datorită muncii omului de știință italian Leonardo Fibonacci, care a scris lucrarea „Cartea Abacului”, introducând inovații orientale. A devenit piatra de temelie a dezvoltării algebrei și aritmeticii, a activităților de cercetare și științifice în Europa.
Aritmetică rusă
Și, în cele din urmă, aritmetica, care și-a găsit locul și a prins rădăcini în Europa, a început să se răspândească pe ținuturile rusești. Prima aritmetică rusă a fost publicată în 1703 - a fost o carte despre aritmetică a lui Leonty Magnitsky. Multă vreme a rămas singurul manual de matematică. Conține momentele inițiale ale algebrei și geometriei. Numerele folosite în exemplele de primul manual de aritmetică din Rusia sunt arabe. Deși cifre arabe au mai fost văzute înainte, pe gravuri care datează din secolul al XVII-lea.
Cartea în sine este decorată cu imagini ale lui Arhimede și Pitagora, iar pe prima foaie - imaginea aritmeticii sub forma unei femei. Ea stă pe un tron, sub ea este scris în ebraică un cuvânt care denotă numele lui Dumnezeu, iar pe treptele care duc la tron sunt înscrise cuvintele „împărțire”, „înmulțire”, „adăugare” etc., adevăruri. care sunt acum considerate banale.
Un manual de 600 de pagini acoperă atât elementele de bază, cum ar fi tabelele de adunare și înmulțire și aplicații pentru științele navigației.
Nu este de mirare că autorul a ales imagini ale gânditorilor greci pentru cartea sa, pentru că el însuși a fost captivat de frumusețea aritmeticii, spunând: „Aritmetica este numărătorul, există artă cinstită, de neinvidiat…”. Această abordare a aritmeticii este destul de justificată, deoarece introducerea sa pe scară largă poate fi considerată începutul dezvoltării rapide a gândirii științifice în Rusia și în învățământul general.
prime neprime
Un număr prim este un număr natural care are doar 2 divizori pozitivi: 1 și el însuși. Toate celel alte numere, cu excepția lui 1, sunt numite compuse. Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 7, 11 și toate celel alte care nu au divizori alții decât 1 și el însuși.
În ceea ce privește numărul 1, este pe un cont special - există un acord că nu trebuie considerat nici simplu, nici compus. Simplu la prima vedere, un număr simplu ascunde multe mistere nerezolvate în sine.
Teorema lui Euclid spune că există un număr infinit de numere prime, iar Eratostene a inventat o „sită” aritmetică specială care elimină numerele neprime, lăsând doar pe cele simple.
Esența sa este de a sublinia primul număr netașat și, ulterior, de a le tăia pe cei care sunt multiplii acestuia. Repetăm această procedură de multe ori - și obținem un tabel cu numere prime.
Teorema fundamentală a aritmeticii
Dintre observațiile despre numerele prime ar trebui menționată în mod special teorema fundamentală a aritmeticii.
Teorema fundamentală a aritmeticii spune că orice număr întreg mai mare de 1 este fie prim, fie poate fi descompus într-un produs de numere prime până la ordinea factorilor și într-un mod unic.
Teorema principală a aritmeticii se dovedește destul de greoaie, iar înțelegerea ei nu mai arată ca cele mai simple elemente de bază.
La prima vedere, numerele prime sunt un concept elementar, dar nu sunt. De asemenea, fizica a considerat cândva atomul ca fiind elementar, până când a găsit întreg universul în interiorul său. O poveste minunată a matematicianului Don Tzagir „Primele cincizeci de milioane de prime” este dedicată numerelor prime.
De la „trei mere” la legile deductive
Ceea ce poate fi numit cu adevărat fundamentul consolidat al oricărei științe sunt legile aritmeticii. Chiar și în copilărie, toată lumea se confruntă cu aritmetica, studiind numărul de picioare și brațe ale păpușilor,numărul de cuburi, mere etc. Așa studiem aritmetica, care apoi trece la reguli mai complexe.
Toată viața ne face cunoștință cu regulile aritmeticii, care au devenit pentru omul de rând cele mai utile dintre tot ce dă știința. Studiul numerelor este „aritmetică-baby”, care introduce o persoană în lumea numerelor sub formă de numere în copilăria timpurie.
Aritmetica superioară este o știință deductivă care studiază legile aritmeticii. Îi cunoaștem pe majoritatea, deși este posibil să nu știm formularea lor exactă.
Legea adunării și înmulțirii
Două numere naturale a și b pot fi exprimate ca sumă a+b, care va fi, de asemenea, un număr natural. În cazul adăugării se aplică următoarele legi:
- Comutativ, care spune că suma nu se modifică din rearanjarea termenilor sau a+b=b+a.
- Asociativ, care spune că suma nu depinde de modul în care termenii sunt grupați pe locuri sau a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Regulile de aritmetică, cum ar fi adunarea, sunt printre cele mai elementare, dar sunt folosite de toate științele, ca să nu mai vorbim de viața de zi cu zi.
Două numere naturale a și b pot fi exprimate ca un produs ab sau ab, care este, de asemenea, un număr natural. Produsului se aplică aceleași legi comutative și asociative ca și adunării:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Mă întrebcă există o lege care unește adunarea și înmulțirea, numită și lege distributivă sau distributivă:
a(b+c)=ab+ac
Această lege de fapt ne învață să lucrăm cu paranteze prin extinderea lor, astfel încât să putem lucra cu formule mai complexe. Acestea sunt legile care ne vor ghida prin lumea bizară și complexă a algebrei.
Legea ordinii aritmetice
Legea ordinii este folosită de logica umană în fiecare zi, comparând ceasurile și numărând bancnotele. Și, cu toate acestea, trebuie să fie oficializat sub formă de formulări specifice.
Dacă avem două numere naturale a și b, atunci sunt posibile următoarele opțiuni:
- a este egal cu b sau a=b;
- a este mai mic decât b sau a < b;
- a este mai mare decât b sau a > b.
Din trei opțiuni, doar una poate fi corectă. Legea de bază care guvernează ordinea spune: dacă a < b și b < c, atunci a< c.
Există și legi referitoare la ordinea înmulțirii și adunării: dacă a< este b, atunci a + c < b+c și ac< bc.
Legile aritmeticii ne învață să lucrăm cu numere, semne și paranteze, transformând totul într-o simfonie armonioasă de numere.
Calcul pozițional și non-pozițional
Se poate spune că numerele sunt un limbaj matematic, de a cărui comoditate depinde foarte mult. Există multe sisteme numerice care, la fel ca alfabetele diferitelor limbi, diferă unele de altele.
Să luăm în considerare sistemele numerice din punctul de vedere al influenței poziției asupra valorii cantitativenumerele aflate în această poziție. Deci, de exemplu, sistemul roman este nepozițional, unde fiecare număr este codificat de un anumit set de caractere speciale: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Sunt egale, respectiv, cu numerele 1. / 5/10/50/100/500/ 1000. Într-un astfel de sistem, numărul nu își schimbă definiția cantitativă în funcție de poziția în care se află: primul, al doilea, etc. Pentru a obține alte numere, trebuie să adăugați cele de bază. De exemplu:
- DCC=700.
- CCM=800.
Sistemul de numere mai cunoscut pentru noi folosind cifre arabe este pozițional. Într-un astfel de sistem, cifra unui număr determină numărul de cifre, de exemplu, numere din trei cifre: 333, 567 etc. Greutatea oricărei cifre depinde de poziția în care se află această sau acea cifră, de exemplu, numărul 8 din a doua poziție are o valoare de 80. Acest lucru este tipic pentru sistemul zecimal, există și alte sisteme poziționale, de exemplu, binar.
Aritmetică binară
Suntem familiarizați cu sistemul zecimal, constând din numere cu o singură cifră și numere cu mai multe cifre. Numărul din stânga unui număr cu mai multe cifre este de zece ori mai semnificativ decât cel din dreapta. Deci, suntem obișnuiți să citim 2, 17, 467 etc. Secțiunea numită „aritmetică binară” are o logică și o abordare complet diferită. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece aritmetica binară a fost creată nu pentru logica umană, ci pentru logica computerizată. Dacă aritmetica numerelor provine din numărarea obiectelor, care a fost extrasă în continuare din proprietățile obiectului pentru a aritmetica „nudă”, atunci aceasta nu va funcționa cu un computer. Pentru a putea împărtășicu cunoștințele sale de calculator, o persoană trebuia să inventeze un astfel de model de calcul.
Aritmetica binară funcționează cu alfabetul binar, care constă numai din 0 și 1. Iar utilizarea acestui alfabet se numește sistem binar.
Diferența dintre aritmetica binară și aritmetica zecimală este că semnificația poziției din stânga nu mai este de 10, ci de 2 ori. Numerele binare sunt de forma 111, 1001 etc. Cum să înțelegeți astfel de numere? Deci, luați în considerare numărul 1100:
- Prima cifră din stânga este 18=8, amintindu-ne că a patra cifră, ceea ce înseamnă că trebuie înmulțită cu 2, obținem poziția 8.
- A doua cifră 14=4 (poziția 4).
- A treia cifră 02=0 (poziția 2).
- A patra cifră 01=0 (poziția 1).
- Deci, numărul nostru este 1100=8+4+0+0=12.
Adică, atunci când treceți la o nouă cifră din stânga, semnificația sa în sistemul binar este înmulțită cu 2, iar în zecimală - cu 10. Un astfel de sistem are un minus: este o creștere prea mare a cifrele necesare pentru a scrie numere. Exemple de reprezentare a numerelor zecimale ca numere binare pot fi găsite în următorul tabel.
Numerele zecimale în formă binară sunt afișate mai jos.
Se folosesc și sistemele octal și hexazecimal.
Această aritmetică misterioasă
Ce este aritmetica, „de două ori doi” sau misterele neexplorate ale numerelor? După cum puteți vedea, aritmetica poate părea simplă la prima vedere, dar ușurința sa neevidentă este înșelătoare. Poate fi studiat și de copii împreună cu mătușa Bufniță dindesen animat „Aritmetică-bebel” și te poți scufunda în cercetări profunde științifice de ordin aproape filozofic. În istorie, ea a trecut de la numărarea obiectelor la venerarea frumuseții numerelor. Un singur lucru se știe cu siguranță: odată cu stabilirea postulatelor de bază ale aritmeticii, toată știința se poate baza pe umărul său puternic.
