Piramidă hexagonală obișnuită. Formule pentru volum și suprafață. Rezolvarea unei probleme geometrice

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Stereometria, ca ramură a geometriei în spațiu, studiază proprietățile prismelor, cilindrilor, conurilor, bilelor, piramidelor și altor figuri tridimensionale. Acest articol este dedicat unei revizuiri detaliate a caracteristicilor și proprietăților unei piramide regulate hexagonale.

Ce piramidă va fi studiată

O piramidă hexagonală obișnuită este o figură în spațiu, care este limitată de un hexagon echilateral și echiunghiular și șase triunghiuri isoscele identice. Aceste triunghiuri pot fi și echilaterale în anumite condiții. Această piramidă este prezentată mai jos.

Aceeași figură este afișată aici, doar într-un caz este întoarsă cu fața laterală spre cititor, iar în celăl alt - cu marginea laterală.

O piramidă hexagonală obișnuită are 7 fețe, care au fost menționate mai sus. Are, de asemenea, 7 vârfuri și 12 muchii. Spre deosebire de prisme, toate piramidele au un singur vârf special, care este format prin intersecția lateralelor.triunghiuri. Pentru o piramidă obișnuită, joacă un rol important, deoarece perpendiculara coborâtă de la ea la baza figurii este înălțimea. În plus, înălțimea va fi indicată cu litera h.

Piramida afișată este numită corectă din două motive:

• la baza sa este un hexagon cu lungimi a laturilor egale a si unghiuri egale de 120o;
• Înălțimea piramidei h intersectează hexagonul exact în centrul său (punctul de intersecție se află la aceeași distanță de toate laturile și de la toate vârfurile hexagonului).

Zona de suprafață

Proprietățile unei piramide hexagonale regulate vor fi luate în considerare din definiția ariei sale. Pentru a face acest lucru, este mai întâi util să desfășurați figura pe un plan. O reprezentare schematică a acesteia este prezentată mai jos.

Se poate observa că aria măturii și, prin urmare, întreaga suprafață a figurii luate în considerare, este egală cu suma ariilor a șase triunghiuri identice și a unui hexagon.

Pentru a determina aria unui hexagon S_{6, utilizați formula universală pentru un n-gon obișnuit:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Unde a este lungimea laturii hexagonului.

Aria unui triunghi S₃ a laturii laterale poate fi găsită dacă cunoașteți valoarea înălțimii sale h_b:

S₃=1/2h_ba.

Pentru că toate cele șasetriunghiurile sunt egale între ele, apoi obținem o expresie de lucru pentru determinarea ariei unei piramide hexagonale cu baza corectă:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Volum piramidei

La fel ca zona, volumul unei piramide regulate hexagonale este proprietatea sa importantă. Acest volum este calculat prin formula generală pentru toate piramidele și conurile. Să-l notăm:

V=1/3S_oh.

Aici, simbolul S_o este aria bazei hexagonale, adică S_o=S _6.

Înlocuind expresia de mai sus pentru S_{6 în formula pentru V, ajungem la egalitatea finală pentru determinarea volumului unei piramide hexagonale regulate:}

V=√3/2a2h.

Un exemplu de problemă geometrică

Într-o piramidă hexagonală obișnuită, marginea laterală este de două ori lungimea laturii bazei. Știind că acesta din urmă are 7 cm, este necesar să se calculeze suprafața și volumul acestei figuri.

După cum ați putea ghici, soluția acestei probleme presupune utilizarea expresiilor obținute mai sus pentru S și V. Cu toate acestea, nu va fi posibil să le folosiți imediat, deoarece nu cunoaștem apotema și înălțimea unei piramide hexagonale regulate. Să le calculăm.

Apotema h_b poate fi determinată luând în considerare un triunghi dreptunghic construit pe laturile b, a/2 și h_{b. Aici b este lungimea marginii laterale. Folosind starea problemei, obținem:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Înălțimea h a piramidei poate fi determinată exact în același mod ca o apotem, dar acum ar trebui să luăm în considerare un triunghi cu laturile h, b și a, situat în interiorul piramidei. Înălțimea va fi:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Se poate observa că valoarea înălțimii calculate este mai mică decât cea pentru apotema, ceea ce este valabil pentru orice piramidă.

Acum puteți folosi expresii pentru volum și zonă:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 cm^3.

Astfel, pentru a determina fără ambiguitate orice caracteristică a unei piramide hexagonale obișnuite, trebuie să cunoașteți oricare doi dintre parametrii ei liniari.