Figurele geometrice din spațiu sunt obiectul de studiu al stereometriei, cursul căruia este promovat de școlari în liceu. Acest articol este dedicat unui astfel de poliedru perfect ca o prismă. Să luăm în considerare mai detaliat proprietățile unei prisme și să dăm formulele care servesc pentru a le descrie cantitativ.
Ce este o prismă?
Toată lumea își imaginează cum arată o cutie sau un cub. Ambele figuri sunt prisme. Cu toate acestea, clasa prismelor este mult mai diversă. În geometrie, această figură are următoarea definiție: o prismă este orice poliedru din spațiu, care este format din două laturi poligonale paralele și identice și mai multe paralelograme. Fețele paralele identice ale unei figuri se numesc bazele acesteia (superioare și inferioare). Paralelogramele sunt fețele laterale ale figurii, care conectează părțile laterale ale bazei între ele.
Dacă baza este reprezentată printr-un n-gon, unde n este un număr întreg, atunci figura va fi formată din 2+n fețe, 2n vârfuri și 3n muchii. Fețele și marginile se referă launul din două tipuri: fie aparțin suprafeței laterale, fie bazelor. În ceea ce privește vârfurile, toate sunt egale și aparțin bazelor prismei.
Tipuri de figuri ale clasei studiate
Studiind proprietățile unei prisme, ar trebui să enumerați tipurile posibile ale acestei figuri:
- Convex și concav. Diferența dintre ele constă în forma bazei poligonale. Dacă este concavă, atunci va fi și o figură tridimensională și invers.
- Drept și oblic. Pentru o prismă dreaptă, fețele laterale sunt fie dreptunghiuri, fie pătrate. Într-o figură oblică, fețele laterale sunt paralelograme de tip general sau romburi.
- Greșit și corect. Pentru ca figura să fie studiată să fie corectă, trebuie să fie dreaptă și să aibă baza corectă. Un exemplu pentru acestea din urmă sunt figurile plate, cum ar fi un triunghi echilateral sau un pătrat.
Numele prismei se formează ținând cont de clasificarea enumerată. De exemplu, paralelipipedul sau cubul dreptunghic menționat mai sus se numește prismă pătrangulară obișnuită. Prismele obișnuite, datorită simetriei lor ridicate, sunt convenabile de studiat. Proprietățile lor sunt exprimate sub formă de formule matematice specifice.
Zona prismei
Când luați în considerare o astfel de proprietate a unei prisme ca aria sa, acestea înseamnă aria totală a tuturor fețelor sale. Cel mai ușor este să vă imaginați această valoare dacă desfaceți figura, adică extindeți toate fețele într-un singur plan. Mai jos peFigura prezintă un exemplu de măturare a două prisme.
Pentru o prismă arbitrară, formula pentru aria maturii sale în formă generală poate fi scrisă după cum urmează:
S=2So+ bPsr.
Să explicăm notația. Valoarea So este aria unei baze, b este lungimea marginii laterale, Psr este perimetrul tăiat, care este perpendiculară pe paralelogramele laterale ale figurii.
Formula scrisă este adesea folosită pentru a determina zonele prismelor înclinate. În cazul unei prisme regulate, expresia pentru S va lua o formă specifică:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Primul termen din expresie reprezintă aria celor două baze ale unei prisme regulate, al doilea termen este aria dreptunghiurilor laterale. Aici a este lungimea laturii unui n-gon regulat. Rețineți că lungimea muchiei laterale b pentru o prismă obișnuită este și înălțimea ei h, deci în formula b poate fi înlocuit cu h.
Cum se calculează volumul unei figuri?
Prisma este un poliedru relativ simplu cu simetrie mare. Prin urmare, pentru a-i determina volumul, există o formulă foarte simplă. Arată așa:
V=Soh.
Calcularea suprafeței de bază și a înălțimii poate fi dificilă atunci când priviți o formă neregulată oblică. Această problemă este rezolvată folosind analiza geometrică secvențială care implică informații despre unghiurile diedrice dintre paralelogramele laterale și bază.
Dacă prisma este corectă, atunciformula pentru V devine destul de concretă:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
După cum puteți vedea, aria S și volumul V pentru o prismă obișnuită sunt determinate în mod unic dacă doi dintre parametrii săi liniari sunt cunoscuți.
Prismă regulată triunghiulară
Să încheiem articolul luând în considerare proprietățile unei prisme triunghiulare obișnuite. Este format din cinci fețe, dintre care trei dreptunghiuri (pătrate) și două triunghiuri echilaterale. O prismă are șase vârfuri și nouă muchii. Pentru această prismă, formulele de volum și suprafață sunt scrise mai jos:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Pe lângă aceste proprietăți, este de asemenea util să se dea o formulă pentru apotema bazei figurii, care este înălțimea ha a unui triunghi echilateral:
ha=√3/2a.
Laturile prismei sunt dreptunghiuri identice. Lungimile diagonalelor lor d sunt:
d=√(a2+ h2).
Cunoașterea proprietăților geometrice ale unei prisme triunghiulare prezintă un interes nu numai teoretic, ci și practic. Cert este că această figură, din sticlă optică, este folosită pentru a studia spectrul de radiații al corpurilor.
Trecând printr-o prismă de sticlă, lumina este descompusă într-un număr de culori componente ca urmare a fenomenului de dispersie, care creează condiții pentru studierea compoziției spectrale a unui flux electromagnetic.
