Adesea, în fizică, trebuie să rezolvi probleme pentru calcularea echilibrului în sisteme complexe care au multe forțe de acțiune, pârghii și axe de rotație. În acest caz, este mai ușor să folosiți conceptul de moment al forței. Acest articol oferă toate formulele necesare cu explicații detaliate care ar trebui folosite pentru a rezolva probleme de tipul numit.
Despre ce vom vorbi?
Mulți oameni au observat probabil că dacă acționați cu orice forță asupra unui obiect fixat într-un anumit punct, acesta începe să se rotească. Un exemplu izbitor este ușa către casă sau către cameră. Dacă îl luați de mâner și împingeți (aplicați forță), atunci va începe să se deschidă (porniți balamalele). Acest proces este o manifestare în viața de zi cu zi a acțiunii unei mărimi fizice, care se numește momentul forței.
Din exemplul descris cu ușa rezultă că valoarea în cauză indică capacitatea forței de a se roti, care este sensul ei fizic. De asemenea, această valoarese numește momentul de torsiune.
Determinarea momentului de forță
Înainte de a defini cantitatea luată în considerare, să facem o poză simplă.
Deci, figura prezintă o pârghie (albastru), care este fixată pe axă (verde). Această pârghie are lungimea d, iar la capătul său se aplică o forță F. Ce se va întâmpla cu sistemul în acest caz? Așa este, pârghia va începe să se rotească în sens invers acelor de ceasornic atunci când este privită de sus (rețineți că dacă vă întindeți puțin imaginația și vă imaginați că vederea este îndreptată de jos către pârghie, atunci se va roti în sensul acelor de ceasornic).
Fie ca punctul de atașare al axei să se numească O, iar punctul de aplicare a forței - P. Apoi, putem scrie următoarea expresie matematică:
OP¯ F¯=M¯FO.
Unde OP¯ este vectorul care este îndreptat de la axa la capătul pârghiei, se mai numește și pârghia de forță, F¯este forța aplicată vectorului punctului P, iar M¯FO este momentul forței în jurul punctului O (axa). Această formulă este definiția matematică a mărimii fizice în cauză.
Directia momentului si regula mainii drepte
Expresia de mai sus este un produs încrucișat. După cum știți, rezultatul său este, de asemenea, un vector care este perpendicular pe planul care trece prin vectorii multiplicatori corespunzători. Această condiție este îndeplinită de două direcții ale valorii M¯FO (în jos și în sus).
Pentru unicpentru a determina, ar trebui să folosiți așa-numita regulă a mâinii drepte. Poate fi formulat astfel: dacă îndoiți patru degete ale mâinii drepte într-o jumătate de arc și direcționați această jumătate de arc astfel încât să meargă de-a lungul primului vector (primul factor din formulă) și să meargă până la sfârșitul al doilea, apoi degetul mare care iese în sus va indica direcția momentului de torsiune. Rețineți, de asemenea, că înainte de a utiliza această regulă, trebuie să setați vectorii înmulțiți astfel încât să iasă din același punct (originile lor trebuie să se potrivească).
În cazul figurii din paragraful precedent, putem spune, prin aplicarea regulii mâinii drepte, că momentul de forță relativ la axă va fi îndreptat în sus, adică spre noi.
Pe lângă metoda marcată de determinare a direcției vectorului M¯FO, mai sunt două. Iată-i:
- Momentul de torsiune va fi dirijat în așa fel încât dacă priviți pârghia rotativă de la capătul vectorului său, acesta din urmă se va mișca contra cronometru. Este în general acceptat să se considere această direcție a momentului ca pozitivă atunci când se rezolvă diverse tipuri de probleme.
- Dacă răsuciți brațul în sensul acelor de ceasornic, cuplul va fi direcționat către mișcarea (adâncirea) brațului.
Toate definițiile de mai sus sunt echivalente, astfel încât fiecare poate alege pe cea care este convenabilă pentru el.
Deci, s-a constatat că direcția momentului de forță este paralelă cu axa în jurul căreia se rotește pârghia corespunzătoare.
Forță unghiulară
Luați în considerare imaginea de mai jos.
Aici vedem și o pârghie de lungime L fixată într-un punct (indicată de o săgeată). O forță F acționează asupra ei, dar este îndreptată la un anumit unghi Φ (phi) față de pârghia orizontală. Direcția momentului M¯FO în acest caz va fi aceeași ca în figura anterioară (la noi). Pentru a calcula valoarea absolută sau modulul acestei cantități, trebuie să utilizați proprietatea produsului încrucișat. Potrivit lui, pentru exemplul luat în considerare, puteți scrie expresia: MFO=LFsin(180 o -Φ) sau, folosind proprietatea sinus, rescriem:
MFO=LFsin(Φ).
Figura prezintă și un triunghi dreptunghic finalizat, ale cărui laturi sunt pârghia în sine (ipotenuza), linia de acțiune a forței (piciorul) și latura lungimii d (al doilea catet). Având în vedere că sin(Φ)=d/L, această formulă va lua forma: MFO=dF. Se poate observa că distanța d este distanța de la punctul de atașare al pârghiei la linia de acțiune a forței, adică d este pârghia de forță.
Ambele formule luate în considerare în acest paragraf, care rezultă direct din definiția momentului de torsiune, sunt utile în rezolvarea problemelor practice.
unități de cuplu
Folosind definiția, se poate stabili că valoarea MFO trebuie măsurată în newtoni pe metru (Nm). Într-adevăr, sub forma acestor unități, este folosit în SI.
Rețineți că Nm este o unitate de lucru, care este exprimată în jouli, ca și energia. Cu toate acestea, joulii nu sunt folosiți pentru conceptul de moment al forței, deoarece această valoare reflectă tocmai posibilitatea implementării acestuia din urmă. Cu toate acestea, există o legătură cu unitatea de lucru: dacă, ca urmare a forței F, pârghia este rotită complet în jurul punctului său de pivot O, atunci munca efectuată va fi egală cu A=MF O 2pi (2pi este unghiul în radiani care corespunde cu 360o). În acest caz, unitatea de cuplu MFO poate fi exprimată în jouli pe radian (J/rad.). Acesta din urmă, împreună cu Hm, este folosit și în sistemul SI.
Teorema lui Varignon
La sfârșitul secolului al XVII-lea, matematicianul francez Pierre Varignon, studiind echilibrul sistemelor cu pârghii, a formulat pentru prima dată teorema, care îi poartă acum numele de familie. Se formulează astfel: momentul total al mai multor forțe este egal cu momentul unei forțe rezultate, care se aplică într-un anumit punct relativ la aceeași axă de rotație. Din punct de vedere matematic, poate fi scris astfel:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Această teoremă este convenabilă de utilizat pentru a calcula momentele de torsiune în sisteme cu forțe de acțiune multiple.
În continuare, dăm un exemplu de utilizare a formulelor de mai sus pentru a rezolva probleme de fizică.
Problemă cu cheia
Unul dintreUn exemplu izbitor de demonstrare a importanței luării în considerare a momentului de forță este procesul de deșurubare a piulițelor cu o cheie. Pentru a deșuruba piulița, trebuie să aplicați un cuplu. Este necesar să se calculeze cât de multă forță trebuie aplicată în punctul A pentru a începe deșurubarea piuliței, dacă această forță în punctul B este de 300 N (vezi figura de mai jos).
Din figura de mai sus, urmează două lucruri importante: în primul rând, distanța OB este de două ori mai mare decât distanța OA; în al doilea rând, forțele FA și FBsunt direcționate perpendicular pe pârghia corespunzătoare, cu axa de rotație care coincide cu centrul piuliței (punctul O).
Momentul cuplului pentru acest caz poate fi scris în formă scalară după cum urmează: M=OBFB=OAFA. Deoarece OB/OA=2, această egalitate va fi valabilă numai dacă FA este de 2 ori mai mare decât FB. Din starea problemei, obținem că FA=2300=600 N. Adică, cu cât cheia este mai lungă, cu atât este mai ușor să deșurubați piulița.
Problemă cu două bile de mase diferite
Figura de mai jos arată un sistem care este în echilibru. Este necesar să găsiți poziția punctului de sprijin dacă lungimea plăcii este de 3 metri.
Deoarece sistemul este în echilibru, suma momentelor tuturor forțelor este egală cu zero. Pe tablă acționează trei forțe (greutățile celor două bile și forța de reacție a suportului). Deoarece forța de sprijin nu creează un moment de cuplu (lungimea pârghiei este zero), există doar două momente create de greutatea bilelor.
Fie ca punctul de echilibru să fie la o distanță x demarginea care contine o bila de 100 kg. Apoi putem scrie egalitatea: M1-M2=0. Deoarece greutatea corpului este determinată de formula mg, atunci avem: m 1gx - m2g(3-x)=0. Reducem g și înlocuim datele, obținem: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m sau 14,3 cm.
Astfel, pentru ca sistemul să fie în echilibru, este necesar să se stabilească un punct de referință la o distanță de 14,3 cm de margine, unde se va afla o minge cu masa de 100 kg.
